Question

若存在實(shí)常數(shù)k和b，使得函數(shù)f（x）和g（x）對(duì)其定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x分別滿(mǎn)足f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，則稱(chēng)直線(xiàn)l：y=kx+b為f（x）和g（x）的“分界直線(xiàn)”．已知函數(shù)f（x）=2x²-4和函數(shù)g（x）=4lnx-2，那么函數(shù)f（x）和函數(shù)g（x）的分界直線(xiàn)方程為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用

專(zhuān)題：新定義,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：令F（x）=f（x）-g（x）=2x²-4-4lnx+2=2x²-2-4lnx（x＞0），利用導(dǎo)數(shù)可求得F（x）的最小值是0及兩圖象的公共點(diǎn)（1，-2），從而可判斷f（x）和g（x）的分界直線(xiàn)過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)，則分界線(xiàn)可表示為y=kx-k-2，由f（x）≥kx-k-2恒成立可求得k值，再證明g（x）≤4x-6在x＞0時(shí)恒成立即可，利用導(dǎo)數(shù)易證．

解答： 解：令F（x）=f（x）-g（x）=2x²-4-4lnx+2=2x²-2-4lnx（x＞0），
∴F′（x）=4x-

4

x

=

4(x+1)(x-1)

x

，令F′（x）=0，得x=1，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，x＞1時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，
故當(dāng)x=1時(shí)，F(xiàn)（x）取到最小值，最小值是0，
∴函數(shù)f（x）和g（x）的圖象在（1，-2）處相交，
因此存在f（x）和g（x）的分界直線(xiàn)，那么該直線(xiàn)過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)，
則-2=k+b，即y=kx-k-2，
由f（x）≥kx-k-2（x∈R），可得2x²-kx+k-2≥0當(dāng)x∈R恒成立，
則△=k²-8k+16=（k-4）²≤0，
∴k=4，此時(shí)直線(xiàn)方程為：y=4x-6．
下面證明g（x）≤4x-6在x＞0時(shí)恒成立，
令G（x）=g（x）-（4x-6）=4lnx-4x+4（x＞0），
則G′（x）=

4

x

-4=

4(1-x)

x

，
則當(dāng)0＜x＜1時(shí)G′（x）＞0，G（x）遞增；當(dāng)x＞1時(shí)G′（x）＜0，G（x）遞減；
則當(dāng)x=1時(shí)，G（x）取到極大值，極大值是0，也是最大值．
∴G（x）=g（x）-（4x-6）≤0，則g（x）≤4x-6當(dāng)x＞0時(shí)恒成立．
∴函數(shù)f（x）和g（x）存在唯一的分界直線(xiàn)y=4x-6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求最值，屬于中檔題，注意做題要仔細(xì)．