Question

某班數(shù)學(xué)課隨堂測試時，老師共給出四道題，某學(xué)生能正確解答第一、二、三、四道題的概率分別為

4

5

、

3

5

、

2

5

，

1

5

，且各題能否準(zhǔn)確解答互不影響．
（Ⅰ）求該學(xué)生四道題中只有一道題不能正確解答的概率；
（Ⅱ）設(shè)該學(xué)生四道題中能正確解答的題數(shù)記為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式能求出該學(xué)生四道題中只有一道不能正確解答的概率．
（Ⅱ）由題意知ξ的可能取值為0，1，2，3，4，分別求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），P（ξ=4），由此能求出隨機(jī)變量ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（Ⅰ）記“該學(xué)生能正確解答第i道題”的事件為A_i（i=1，2，3，4），
則P（A₁）=

4

5

，P（A₂）=

3

5

，P（A₃）=

2

5

，P（A₄）=

1

5

，
∴該學(xué)生四道題中只有一道不能正確解答的概率為：
P=P（

.

A1

A2A3A4）+P（A1

.

A2

A3A4）+P（A1A2

.

A3

A4）+P（A1A2A3

.

A4

）
=

1

5

×

3

5

×

2

5

×

1

5

+

4

5

×

2

5

×

2

5

×

1

5

+

4

5

×

3

5

×

3

5

×

1

5

+

4

5

×

3

5

×

2

5

×

4

5

=

154

625

．
（Ⅱ）由題意知ξ的可能取值為0，1，2，3，4，
P（ξ=0）=

1

5

×

2

5

×

3

5

×

4

5

=

24

625

，
P（ξ=1）=

154

625

，
P（ξ=2）=

4×3×3×4

625

+

4×2×2×4

625

+

4×2×3×1

625

+

1×3×2×4

625

+

1×3×3×1

625

+

1×2×2×1

625

=

269

625

，
P（ξ=3）=

4×3×2×4

625

+

4×3×3×1

625

+

4×2×2×1

625

+

1×3×2×1

625

=

154

625

，
P（ξ=4）=

4×3×2×1

625

=

24

625

．
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4
P	24 625	154 625	269 625	154 625	24 625

Eξ=0×

24

625

+1×

154

625

+2×

269

625

+3×

154

625

+4×

24

625

=2．

點(diǎn)評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，歷年高考中都是必考題型之一．