Question

【題目】已知橢圓： 的離心率為，點(diǎn)為左焦點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于、兩點(diǎn)，且.

（1）求橢圓的方程；

（2）在圓上是否存在一點(diǎn)，使得在點(diǎn)處的切線與橢圓相交于、兩點(diǎn)滿足？若存在，求的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)(2) 在圓上不存在這樣的點(diǎn)使其成立

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)橢圓的離心率公式和通徑的表達(dá)式，構(gòu)造方程，得到橢圓方程；（2）將向量的位置關(guān)系，坐標(biāo)化為，得到兩個(gè)變量的等量關(guān)系，聯(lián)立直線和橢圓，將向量的位置關(guān)系，根據(jù)韋達(dá)定理，坐標(biāo)化為，再根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系得到，聯(lián)立這兩個(gè)方程，二元化一元，得到方程無解，故不存在。

解析：

（1）

又

,

橢圓的方程為：

（2）假設(shè)存在點(diǎn)，使得.當(dāng)的斜率不存在時(shí)，:或

與橢圓：相交于，兩點(diǎn)，

此時(shí) 或

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)不滿足.

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)：

則

直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)

，化簡得

設(shè)，

，

又與圓相切，

，顯然不成立，在圓上不存在這樣的點(diǎn)使其成立.