【題目】某市公園內(nèi)的人工湖上有一個(gè)以點(diǎn)為圓心的圓形噴泉,沿湖有一條小徑,在的另一側(cè)建有控制臺(tái)之間均有小徑連接(小徑均為直路),且,噴泉中心點(diǎn)距離點(diǎn)60米,且連線恰與平行,在小徑上有一拍照點(diǎn),現(xiàn)測(cè)得米, 米,且.

(I)請(qǐng)計(jì)算小徑的長(zhǎng)度;

(Ⅱ)現(xiàn)打算改建控制臺(tái)的位置,其離噴泉盡可能近,在點(diǎn)的位置及大小均不變的前提下,請(qǐng)計(jì)算距離的最小值;

(Ⅲ)一人從小徑一端處向處勻速前進(jìn)時(shí),噴泉恰好同時(shí)開(kāi)啟,噴泉開(kāi)啟分鐘后的水幕是一個(gè)以為圓心,半徑米的圓形區(qū)域(含邊界),此人的行進(jìn)速度是米/分鐘,在這個(gè)人行進(jìn)的過(guò)程中他會(huì)被水幕沾染,試求實(shí)數(shù)的最小值.

【答案】(Ⅰ)千米;(Ⅱ)(Ⅲ)4.

【解析】

分析:(I) 以為坐標(biāo)原點(diǎn), 所在直線為軸,過(guò)且垂直于的直線為軸,建立平面直角坐標(biāo)系,由題意可知,,則AB所在直線即可表示,即可求出A點(diǎn)坐標(biāo),從而得出答案;

(Ⅱ)三點(diǎn)共圓,可求圓的方程為 ,則距離最小值為圓心與C之間的距離減去半徑;

(Ⅲ) 因?yàn)?/span>的正西方向,且千米,所以. 假設(shè)在時(shí)刻人所在的位置為,所以,則可表示,又在時(shí), ,欲使這個(gè)人行進(jìn)的過(guò)程中會(huì)被水幕沾染,則存在,使得,化簡(jiǎn)即可得出答案.

解析:(I)以為坐標(biāo)原點(diǎn), 所在直線為軸,過(guò)且垂直于的直線為軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,由千米, ,可知,直線的方程為,.所以直線的方程為,得,所以,千米;

(Ⅱ) 三點(diǎn)共圓,可求圓的方程為,,則距離最小值為 (此時(shí)點(diǎn)為直線與點(diǎn)及坐標(biāo)原點(diǎn)之間劣弧的交點(diǎn));

(Ⅲ)因?yàn)?/span>的正西方向,且千米,所以.人從行駛到所需要的時(shí)間為 (分鐘),假設(shè)在時(shí)刻人所在的位置為,則千米,所以,則 .

又在時(shí), ,欲使這個(gè)人行進(jìn)的過(guò)程中會(huì)被水幕沾染,則存在,使得,即成立,所以存在,使得成立,

當(dāng)時(shí), ,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào).所以,即實(shí)數(shù)的最小值為4.

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