Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l：x﹣y+4＝0和圓O：x2+y2＝4，P是直線l上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N．

（1）若PM⊥PN，求點(diǎn)P坐標(biāo)；

（2）若圓O上存在點(diǎn)A，B，使得∠APB＝60°，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍；

（3）設(shè)線段MN的中點(diǎn)為Q，l與x軸的交點(diǎn)為T，求線段TQ長的最大值．

Answer 1

【答案】（1）P（﹣2，2）；（2）[﹣4，0]；（3）3

【解析】

（1）由PM⊥PN，則四邊形PMON為正方形，可得到圓心距離，由此可求得點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）設(shè)P（x，x+4），過P作圓的切線PC，PD，若圓O上存在點(diǎn)A，B，使得∠APB＝60°，則∠CPD≥600，把它用坐標(biāo)表示后可得范圍；

（3）設(shè)P（x0，x0+4），得以OP為直徑的圓的方程與x2+y2＝4聯(lián)立（相減）可得MN所在直線方程，由直線方程與x2+y2＝4聯(lián)立消元后用韋達(dá)定理可求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再得縱坐標(biāo)，消去參數(shù)后得點(diǎn)軌跡方程，軌跡是圓（去掉原點(diǎn)），求出點(diǎn)坐標(biāo)后，由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可得最大值．

（1）若PM⊥PN，則四邊形PMON為正方形，則P到圓心的距離為，∵P在直線x﹣y+4＝0上，設(shè)P（x，x+4）

故|OP|，解得x＝﹣2，故P（﹣2，2）；

（2）設(shè)P（x，x+4），若圓O上存在點(diǎn)A，B，使得∠APB＝60°，過P作圓的切線PC，PD，∴∠CPD≥600，∴∠CPO≥300，

在直角三角形△CPO中，∵300≤∠CPO＜900，

∴sin∠CPO＜1，即1，∴2OP≤4，

∴24，解得﹣4≤x≤0，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍為：[﹣4，0]；

（3）設(shè)P（x0，x0+4），則以OP為直徑的圓的方程為，

化簡得，與x2+y2＝4聯(lián)立，可得MN所在直線方程：x0x+（x0+4）y＝4，

聯(lián)立，得，

，∴，所以，

∴Q的坐標(biāo)為（，），

由，得，，代入化簡可得Q點(diǎn)的軌跡方程為：，圓心C（，），半徑R．

其中原點(diǎn)（0，0）為極限點(diǎn)（也可以去掉）．由題可知T（﹣4，0），

∴|TC|．∴|TQ|≤|TC|+R＝3．∴線段TQ長的最大值為3．