Question

設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f（x）=x³+ax²+（a-3）x的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且f′（x）是偶函數(shù)，則曲線y=f（x）在原點處的切線方程是

 

．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：先利用偶函數(shù)的定義求出a的值，再求出函數(shù)f（x）在x=0時的導(dǎo)數(shù)，即切線的斜率即可寫出切線方程．

解答： 解：f′（x）=3x²+2ax+（a-3），因為f′（x）是偶函數(shù)，
所以f′（-x）=f′（x）恒成立，即3（-x）²-2ax+（a-3）=3x²+2ax+（a-3）恒成立，
所以a=0，所以f′（x）=3x²-3，
所以f′（0）=-3，所以曲線y=f（x）在原點處的切線方程是y=-3x，即3x+y=0．
故答案：3x+y=0

點評：函數(shù)奇偶性的概念中f（-x）=-f（x），f（-x）=f（x）是兩個恒等式，利用這一點可以求出本題中字母a的值是解題關(guān)鍵．再就是填空題最后的答案要化簡到最簡，比如本題最后化成一般式．