Question

已知F₁、F₂分別為雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，若在右支上存在點A，使得點F₂到直線AF₁的距離為2a，則該雙曲線的離心率的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設A點坐標為（m，n），則直線AF₁的方程為 （m+c）y-n（x+c）=0，求出右焦點F₂（c，0）到該直線的距離，可得直線AF₁的方程為ax-by+ac=0，根據A是雙曲線上的點，可得b⁴-a⁴＞0，即可求出雙曲線的離心率的取值范圍．

解答： 解：設A點坐標為（m，n），則直線AF₁的方程為 （m+c）y-n（x+c）=0，
右焦點F₂（c，0）到該直線的距離

|n(c+c)|

(m+c)2+n2

=2a，
所以n=

b

a

（m+c），
所以直線AF₁的方程為ax-by+ac=0，
與

x2

a2

-

y2

b2

=1聯立可得（b⁴-a⁴）x²-2a⁴cx-a⁴c²-a²b⁴=0，
因為A在右支上，所以b⁴-a⁴＞0，
所以b²-a²＞0，
所以c²-2a²＞0，
即e＞

2

．
故答案為：(

2

，+∞)．

點評：本題考查雙曲線的幾何性質，考查點到直線距離公式的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．