【題目】如圖所示,在四棱柱中,側(cè)棱底面,,,,,為棱的中點(diǎn).
(1)證明:;
(2)求二面角的正弦值;
(3)設(shè)點(diǎn)在線段上,且直線與平面所成角的正弦值是,求線段的長(zhǎng).
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2);(3).
【解析】
(1)以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,通過(guò)可證得結(jié)論;
(2)根據(jù)二面角的空間向量求法可求得結(jié)果;
(3)利用共線向量和向量線性運(yùn)算表示出,根據(jù)直線與平面所成角的空間向量求法可構(gòu)造方程求得,從而得到,求解的模長(zhǎng)即為所求結(jié)果.
(1)以為原點(diǎn)可建立如下圖所示空間直角坐標(biāo)系
則,,,,,
,
(2)由(1)知:,
平面,平面
又,平面, 平面
平面的一個(gè)法向量為
設(shè)平面的法向量
則,令,則,
二面角的正弦值為
(3)由(1)知:,
設(shè),
平面,平面
又,平面, 平面
平面的一個(gè)法向量為
設(shè)為直線與平面所成角
則,解得:
則 ,即的長(zhǎng)為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知正方形邊長(zhǎng)為,若在正方形邊上恰有個(gè)不同的點(diǎn),使,則的取值范圍為_____________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在某公司舉行的一次真假游戲的有獎(jiǎng)競(jìng)猜中,設(shè)置了“科技”和“生活”這兩類(lèi)試題,規(guī)定每位職工最多競(jìng)猜3次,每次競(jìng)猜的結(jié)果相互獨(dú)立.猜中一道“科技”類(lèi)試題得4分,猜中一道“生活”類(lèi)試題得2分,兩類(lèi)試題猜不中的都得0分.將職工得分逐次累加并用X表示,如果X的值不低于4分就認(rèn)為通過(guò)游戲的競(jìng)猜,立即停止競(jìng)猜,否則繼續(xù)競(jìng)猜,直到競(jìng)猜完3次為止.競(jìng)猜的方案有以下兩種:方案1:先猜一道“科技”類(lèi)試題,然后再連猜兩道“生活”類(lèi)試題;
方案2:連猜三道“生活”類(lèi)試題.
設(shè)職工甲猜中一道“科技”類(lèi)試題的概率為0.5,猜中一道“生活”類(lèi)試題的概率為0.6.
(1)你認(rèn)為職工甲選擇哪種方案通過(guò)競(jìng)猜的可能性大?并說(shuō)明理由.
(2)職工甲選擇哪一種方案所得平均分高?并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為,為邊的中點(diǎn),沿將折成直二面角,則三棱錐的外接球的表面積為_____
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓:的焦距與短軸長(zhǎng)相等,橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之差的最大值為4.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若點(diǎn)為橢圓上異于左右頂點(diǎn),的任意一點(diǎn),過(guò)原點(diǎn)作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),求的軌跡方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)從購(gòu)買(mǎi)該平臺(tái)某課程的客戶(hù)中,隨機(jī)抽取了100位客戶(hù)的數(shù)據(jù),并將這100個(gè)數(shù)據(jù)按學(xué)時(shí)數(shù),客戶(hù)性別等進(jìn)行統(tǒng)計(jì),整理得到如表:
學(xué)時(shí)數(shù) |
| ||||||
男性 | 18 | 12 | 9 | 9 | 6 | 4 | 2 |
女性 | 2 | 4 | 8 | 2 | 7 | 13 | 4 |
(1)根據(jù)上表估計(jì)男性客戶(hù)購(gòu)買(mǎi)該課程學(xué)時(shí)數(shù)的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表,結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位);
(2)從這100位客戶(hù)中,對(duì)購(gòu)買(mǎi)該課程學(xué)時(shí)數(shù)在20以下的女性客戶(hù)按照分層抽樣的方式隨機(jī)抽取7人,再?gòu)倪@7人中隨機(jī)抽取2人,求這2人購(gòu)買(mǎi)的學(xué)時(shí)數(shù)都不低于15的概率.
(3)將購(gòu)買(mǎi)該課程達(dá)到25學(xué)時(shí)及以上者視為“十分愛(ài)好該課程者”,25學(xué)時(shí)以下者視,為“非十分愛(ài)好該課程者”.請(qǐng)根據(jù)已知條件完成以下列聯(lián)表,并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為“十分愛(ài)好該課程者”與性別有關(guān)?
非十分愛(ài)好該課程者 | 十分愛(ài)好該課程者 | 合計(jì) | |
男性 | |||
女性 | |||
合計(jì) | 100 |
附:,
| 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓:上的動(dòng)點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離與最近距離分別是與,的左頂點(diǎn)為與軸平行的直線與橢圓交于、兩點(diǎn),過(guò)、兩點(diǎn)且分別與直線、垂直的直線相交于點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)證明點(diǎn)在一條定直線上運(yùn)動(dòng),并求出該直線的方程;
(3)求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2018年“雙十一”全網(wǎng)銷(xiāo)售額達(dá)億元,相當(dāng)于全國(guó)人均消費(fèi)元,同比增長(zhǎng),監(jiān)測(cè)參與“雙十一”狂歡大促銷(xiāo)的家電商平臺(tái)有天貓、京東、蘇寧易購(gòu)、網(wǎng)易考拉在內(nèi)的綜合性平臺(tái),有拼多多等社交電商平臺(tái),有敦煌網(wǎng)、速賣(mài)通等出口電商平臺(tái).某大學(xué)學(xué)生社團(tuán)在本校名大一學(xué)生中采用男女分層抽樣,分別隨機(jī)調(diào)查了若干個(gè)男生和個(gè)女生的網(wǎng)購(gòu)消費(fèi)情況,制作出男生的頻率分布表、直方圖(部分)和女生的莖葉圖如下:
男生直方圖
分組(百元) | 男生人數(shù) | 頻率 |
合計(jì) |
女生莖葉圖
(1)請(qǐng)完成頻率分布表的三個(gè)空格,并估計(jì)該校男生網(wǎng)購(gòu)金額的中位數(shù)(單位:元,精確到個(gè)位).
(2)若網(wǎng)購(gòu)為全國(guó)人均消費(fèi)的三倍以上稱(chēng)為“剁手黨”,估計(jì)該校大一學(xué)生中的“剁手黨”人數(shù)為多少?從抽樣數(shù)據(jù)中網(wǎng)購(gòu)不足元的同學(xué)中隨機(jī)抽取人發(fā)放紀(jì)念品,則人都是女生的概率為多少?
(3)用頻率估計(jì)概率,從全市所有高校大一學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查人,求其中“剁手黨”人數(shù)的分布列和期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,,M是線段EF的中點(diǎn),二面角的大小為60°.
(1)求證:平面BDE;
(2)試在線段AC上找一點(diǎn)P,使得PF與CD所成的角是60°.
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