【題目】如圖,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,,M是線段EF的中點,二面角的大小為60°.
(1)求證:平面BDE;
(2)試在線段AC上找一點P,使得PF與CD所成的角是60°.
【答案】(1)證明見解析;(2)P為AC的中點
【解析】
(1)要證平面,直線證明直線平行平面內(nèi)的直線即可;
(2) 以 為軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)出線段上點的坐標(biāo),由與所成的角是60°,得到向量夾角的余弦值為 , 由此可求得點的坐標(biāo)
(1)證明:設(shè),連接NE,
,,M是線段EF的中點,N是線段AC的中點,
,,
四邊形AMEN為平行四邊形,
,
又平面BDE,平面BDE,
平面BDE.
(2)如圖,以 為軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
設(shè),
則,,,,
,,,
,,,
平面ADF,
為平面DAF的法向量,
設(shè)平面BDF的法向量為,
,即,
令,則平面BDF的一個法向量為
設(shè)二面角的大小為θ,
則,
解得,
設(shè),,,
則,解得或(舍去),
所以當(dāng)點P為線段AC的中點時,直線PF與CD所成的角為60°.
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【題目】如圖所示,在四棱柱中,側(cè)棱底面,,,,,為棱的中點.
(1)證明:;
(2)求二面角的正弦值;
(3)設(shè)點在線段上,且直線與平面所成角的正弦值是,求線段的長.
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【題目】如圖,正三角形的邊長為,、、分別為各邊的中點,將△沿、、折疊,使、、三點重合,構(gòu)成三棱錐.
(1)求平面與底面所成二面角的余弦值;
(2)設(shè)點、分別在、上, (為變量) ;
①當(dāng)為何值時,為異面直線與的公垂線段? 請證明你的結(jié)論
②設(shè)異面直線與所成的角為,異面直線與所成的角為,試求的值.
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【題目】我國古代著名的周髀算經(jīng)中提到:凡八節(jié)二十四氣,氣損益九寸九分六分分之一;冬至晷長一丈三尺五寸,夏至晷長一尺六寸意思是:一年有二十四個節(jié)氣,每相鄰兩個節(jié)氣之間的日影長度差為分;且“冬至”時日影長度最大,為1350分;“夏至”時日影長度最小,為160分則“立春”時日影長度為
A. 分B. 分C. 分D. 分
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【題目】已知雙曲線的左、右焦點分別為,,點為左支上任意一點,直線是雙曲線的一條漸近線,點在直線上的射影為,且當(dāng)取最小值5時,的最大值為( )
A. B. C. D. 10
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【題目】已知橢圓C:()的左、右焦點分別為,,離心率,點在橢圓C上,直線l過交橢圓于A,B兩點.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)當(dāng)時,點A在x軸上方時,求點A,B的坐標(biāo);
(3)若直線交y軸于點M,直線交y軸于點N,是否存在直線l,使得與的面積滿足,若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由.
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【題目】若存在正實數(shù)x,y使得x2+y2(lny-lnx)-axy=0(a∈R)成立,則a的取值范圍是( 。
A. B. C. D.
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【題目】設(shè)全集U=R,集合A={x|1≤x<4},B={x|2a≤x<3-a}.
(1)若a=-2,求B∩A,B∩(UA);(2)若A∪B=A,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】某興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數(shù)多少之間的關(guān)系,他們分別到氣象局與某醫(yī)院抄錄了1至6月份每月10號的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù),得到如下資料:該興趣小組確定的研究方案是:先從這六組數(shù)據(jù)中選取2組,用剩下的4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再用被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗.
日期 | 1月10日 | 2月10日 | 3月10日 | 4月10日 | 5月10日 | 6月10日 |
晝夜溫差(℃) | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 | 6 |
就診人數(shù)(個) | 22 | 25 | 29 | 26 | 16 | 12 |
(1)若選取的是1月與6月的兩組數(shù)據(jù),請根據(jù)2至5月份的數(shù)據(jù),求出關(guān)于的線性回歸方程;
(2)若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2人,則認(rèn)為得到的線性回歸方程是理想的,試問該小組所得線性回歸方程是否理想?
(參考數(shù)據(jù),)
(參考公式:,)
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