【題目】如圖，在平面直角坐標系
中，橢圓
：
上的動點到一個焦點的最遠距離與最近距離分別是
與
，的左頂點為
與
軸平行的直線與橢圓交于
、
兩點，過、兩點且分別與直線
、
垂直的直線相交于點
.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）證明點在一條定直線上運動，并求出該直線的方程；
（3）求
面積的最大值.
【答案】（1）
；（2）證明見解析，
；（3）
.
【解析】
（1）根據橢圓的性質可以由橢圓
：
上的動點到一個焦點的最遠距離與最近距離分別是
與
得到兩個方程，解方程即可求出橢圓的標準方程；
（2）設
，
，顯然直線
，
，
，
的斜率都存在，設為
，
，
，
，求出它們的表達式，求出直線，的方程，消去
，最后可以證明點
在一條定直線上運動；
（3）由（2）得點的縱坐標，求出
的表達式，再利用均值不等式求出面積的最大值.
（1）因為橢圓：上的動點到一個焦點的最遠距離與最近距離分別是與，所以有
，
的標準方程為.
（2）設，，顯然直線，，，的斜率都存在，設為，，，，則
，
，
，
，所以直線，的方程為：
，
，消去得
，化簡得，故點在定直線上運動.
（3）由（2）得點的縱坐標為
，
又
，所以
，則
，
所以點到直線
的距離
為
，
將
代入得
，
所以面積
，當且僅當
，即
時等號成立，故時，面積的最大值為.
應用題作業(yè)本系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
，
.
（1）當
時，試討論方程
的解的個數；
（2）若曲線
和
上分別存在點
，
，使得
是以原點
為直角頂點的直角三角形，且斜邊
的中點在
軸上，求實數
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，在四棱柱
中，側棱
底面
，
，
，
，
，
為棱
的中點.
（1）證明：
；
（2）求二面角
的正弦值；
（3）設點
在線段
上，且直線
與平面
所成角的正弦值是
，求線段的長.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
，點
滿足
，記點的軌跡為
.斜率為
的直線
過點
，且與軌跡相交于
兩點.
（1）求軌跡的方程；
（2）求斜率的取值范圍；
（3）在
軸上是否存在定點
，使得無論直線繞點怎樣轉動，總有
成立？如果存在，求出定點；如果不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，正三角形
的邊長為
，
、
、
分別為各邊的中點，將△沿
、
、
折疊，使
、
、
三點重合，構成三棱錐
．
(1)求平面
與底面
所成二面角的余弦值；
(2)設點
、
分別在
、上，
(
為變量) ；
①當
為何值時，
為異面直線與的公垂線段? 請證明你的結論
②設異面直線與
所成的角為
，異面直線與所成的角為
，試求
的值．
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