Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函數(shù)．

（1）求k的值；

（2）若函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=x+a沒有交點，求a的取值范圍；

（3）若函數(shù)h（x）=+m2x-1，x∈[0，log23]，是否存在實數(shù)m使得h（x）最小值為0，若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) k=- (2) a≤0 (3) 存在,m=-1

【解析】

（1）若函數(shù)f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函數(shù)，則f（-x）=f（x），可得k的值；

（2）若函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=x+a沒有交點，方程log4（4x+1）-x=a無解，則函數(shù)g（x）=的圖象與直線y=a無交點，則a不屬于函數(shù)g（x）值域；

（3）函數(shù)h（x）=4x+m2x，x∈[0，log23]，令t=2x∈[1，3]，則y=t2+mt，t∈[1，3]，結合二次函數(shù)的圖象和性質，分類討論，可得m的值．

（1）∵函數(shù)f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函數(shù)，

∴f（-x）=f（x），

即log4（4-x+1）-kx=log4（4x+1）+kx恒成立．

∴2kx=log4（4-x+1）-log4（4x+1）===-x，

∴k=-

（2）若函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=x+a沒有交點，

則方程log4（4x+1）-x=x+a即方程log4（4x+1）-x=a無解．

令g（x）=log4（4x+1）-x==，則函數(shù)g（x）的圖象與直線y=a無交點．

∵g（x）在R上是單調(diào)減函數(shù)．，

∴g（x）＞0．

∴a≤0

（3）由題意函數(shù)h（x）=+m2x-1=4x+m2x，x∈[0，log23]，

令t=2x∈[1，3]，則y=t2+mt，t∈[1，3]

∵函數(shù)y=t2+mt的圖象開口向上，對稱軸為直線t=-，

故當-≤1，即m≥-2時，當t=1時，函數(shù)取最小值m+1=0，解得：m=-1，

當1＜-＜3，即-6＜m＜-2時，當t=-時，函數(shù)取最小值=0，解得：m=0（舍去），

當-≥3，即m≤-6時，當t=3時，函數(shù)取最小值9+3m=0，解得：m=-3（舍去），

綜上所述，存在m=-1滿足條件．