Question

【題目】

如圖，已知平面QBC與直線PA均垂直于所在平面，且PA=AB=AC．

（Ⅰ）求證：PA∥平面QBC；

（Ⅱ）若，求二面角Q-PB-A的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)通過已知中的平面⊥平面，那么結(jié)合平面，和⊥平面，從而得到線線平行∥，利用線面平行的性質(zhì)來證明．

(2)

【解析】

試題解：（I）證明：過點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵平面⊥平面∴平面

又∵⊥平面

∴∥又∵平面

∴∥平面

（Ⅱ）∵平面

∴又∵

∴∴

∴點(diǎn)是的中點(diǎn)，連結(jié)，則

∴平面∴∥，

∴四邊形是矩形

設(shè)

∴，∴

過作于點(diǎn)，

∴，

取中點(diǎn)，連結(jié)，取的中點(diǎn)，連結(jié)

∵，∴∥

∵∴∴

∴為二面角的平面角

連結(jié)，則又∵

∴

即二面角的余弦值為

方法二:

（I）同方法一

（Ⅱ）∵平面

∴，又∵

∴∴

∴點(diǎn)是的中點(diǎn)，連結(jié)，則

∴平面∴∥，

∴四邊形是矩形

分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系

設(shè)，則，，，

設(shè)平面的法向量為

∵，

∴

又∵平面的法向量為

設(shè)二面角為，則

又∵二面角是鈍角

∴