Question

已知函數(shù)f(x)=x+

c

x

，若對任意x∈N^*，都有f（x）≥f（3），則實數(shù)c的取值范圍是（　　）

• A、[3，+∞）
• B、{9}
• C、[3，9]
• D、[6，12]

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：利用導數(shù)確定函數(shù)f(x)=x+

c

x

單調(diào)性，設n∈N^*，且f（n）是函數(shù)f(x)=x+

c

x

，x∈N^*的最小值，則f（n-1）≥f（n）且f（n+1）≥f（n），代入解不等式即可確定c的范圍．

解答： 解：∵f(x)=x+

c

x

，
∴f′（x）=1-

c

x2

，
令f′（x）=0，則x=

c

，
∴當x∈（0，

c

）上單調(diào)遞減，當x∈（

c

，+∞）上單調(diào)遞增，
設n∈N^*，且f（n）是函數(shù)f(x)=x+

c

x

，x∈N^*的最小值，
則f（n-1）≥f（n）且f（n+1）≥f（n），
即

n-1+ c n-1 ≥n+ c n n+1+ c n+1 ≥n+ c n

，
化簡得，n（n-1）≤c≤n（n+1），
∴當n=3時，6≤c≤12，
故選：D．

點評：本題考查導數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性中的應用，以及函數(shù)單調(diào)性的靈活應用，屬于難題．