Question

【題目】已知橢圓,其左右頂點(diǎn)分別為,,上下頂點(diǎn)分別為,.圓是以線段為直徑的圓.

(1)求圓的方程;

(2)若點(diǎn),是橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱的兩個(gè)不同的點(diǎn),直線,分別交軸于點(diǎn),求證:為定值;

(3)若點(diǎn)是橢圓Γ上不同于點(diǎn)的點(diǎn),直線與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為.是否存在點(diǎn),使得?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）=;（2）；（3）不存在點(diǎn),使得，見(jiàn)解析

【解析】

(1)由題意得:,,即可求出圓的方程;

(2)由題意可知:,,設(shè),則,,求出直線的方程是,從而求出點(diǎn)坐標(biāo),同理求出點(diǎn)坐標(biāo),再利用點(diǎn)在橢圓上,坐標(biāo)滿足橢圓方程,即可化簡(jiǎn)出為定值;

(3)顯然直線的斜率存在,設(shè)其方程為:=,代入橢圓方程得到=,再利用根與系數(shù)的關(guān)系和弦長(zhǎng)公式求出的長(zhǎng),再利用構(gòu)造直角三角形用勾股定理算出的長(zhǎng),假設(shè)存在點(diǎn),使得,則=,所以,化簡(jiǎn)得:=,此方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)解,故原假設(shè)錯(cuò)誤,即不存在點(diǎn),使得.

（1）由題意得:,,

∴ 圓的圓心為原點(diǎn),半徑為,

∴ 圓的方程是=;

（2）由題意可知:,,設(shè),則,,

∴ 直線的方程是:,∴點(diǎn),同理點(diǎn),

又∵ 點(diǎn)在橢圓上,∴

∴ ,

（3）顯然直線的斜率存在,設(shè)其方程為:=,

聯(lián)立方程,化簡(jiǎn)得:=,

設(shè),則,

所以,

因?yàn)閳A心到直線的距離,

所以=,

假設(shè)存在點(diǎn),使得,則=,

所以,化簡(jiǎn)得:=,此方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)解,

故原假設(shè)錯(cuò)誤,即不存在點(diǎn),使得.