Question

已知二次函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，f（1）=2，且在x=t，（t為實(shí)數(shù)）處取到最值，若y=g（x）為一次函數(shù)，且f（x）+g（x）=x²+2x-3．
（1）求y=f（x）的解析式（含t）；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）-g（x）=0在[2，4]上有解，求t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由對(duì)稱軸x=t，設(shè)出f（x），再把f（1）=2代入求出即可，
（2）由（1）求出g（x）的表達(dá)式，將t用x表示出，由x的范圍求出t的范圍即可．

解答： 解（1）設(shè)f（x）=x²-2tx+c，
由f（1）=2⇒c=2t+1，
∴f（x）=x²-2tx+2t+1．
（2）g（x）=x²+2x-3-f（x）
=（2+2t）x-（2t+4），
f（x）=g（x）
?x²-（4t+2）x+（4t+5）=0
?4t（x-1）=x²-2x+5
?t=

1

4

•

(x-1)2+4

(x-1)

；
令k=x-1∈[1，3]，
則t=

1

4

(k+

4

k

)∈[1，

5

4

]，
故t的取值范圍是[1，

5

4

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了二次函數(shù)的性質(zhì)，求二次函數(shù)的表達(dá)式，換元法，是一道中檔題．