Question

若函數(shù)f（x）=cos2x+asinx在區(qū)間（

π

6

，

π

2

）是減函數(shù)，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：利用二倍角的余弦公式化為正弦，然后令t=sinx換元，根據(jù)給出的x的范圍求出t的范圍，結(jié)合二次函數(shù)的圖象的開(kāi)口方向及對(duì)稱(chēng)軸的位置列式求解a的范圍．

解答： 解：由f（x）=cos2x+asinx
=-2sin²x+asinx+1，
令t=sinx，
則原函數(shù)化為y=-2t²+at+1．
∵x∈（

π

6

，

π

2

）時(shí)f（x）為減函數(shù)，
則y=-2t²+at+1在t∈（

1

2

，1）上為減函數(shù)，
∵y=-2t²+at+1的圖象開(kāi)口向下，且對(duì)稱(chēng)軸方程為t=

a

4

．
∴

a

4

≤

1

2

，解得：a≤2．
∴a的取值范圍是（-∞，2]．
故答案為：（-∞，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，考查了換元法，關(guān)鍵是由換元后函數(shù)為減函數(shù)求得二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸的位置，是中檔題．