Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，公差d≠0，S₂=4，且a₂，a₅，a₁₄成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）從數(shù)列{a_n}中依次取出第2項，第4項，第8項，…，第2ⁿ項，…，按原來順序組成一個新數(shù)列{b_n}，記該數(shù)列的前n項和為T_n，求T_n的表達式．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的通項公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知得：

a1+a1+d=4 (a1+4d)2=(a1+d)(a1+13d)

，求出首項和公差，則等差數(shù)列{a_n}的通項公式可求；
（Ⅱ）把數(shù)列{a_n}的通項公式代入bn=a2n，然后利用分組求和及等比數(shù)列的通項公式得答案．

解答： 解：（Ⅰ）依題意得：

a1+a1+d=4 (a1+4d)2=(a1+d)(a1+13d)

，解得

a1=1 d=2

．
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1．
即a_n=2n-1；
（Ⅱ）由已知得，bn=a2n=2×2n-1=2n+1-1．
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=（2²-1）+（2³-1）+…+（2ⁿ⁺¹-1）
=（2²+2³+…+2ⁿ⁺¹）-n=

4(1-2n)

1-2

-n=2n+2-4-n．

點評：本題主要考查等比數(shù)列和等差數(shù)列的性質，考查了等比數(shù)列的前n項和的求法，考查了化歸與轉化思想方法，是中檔題．