Question

若函數(shù)f（x）=2sin（2x+

π

6

）+a-1（a∈R）在區(qū)間[0，

π

2

]上有兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂（x₁≠x₂），則x₁+x₂-a的取值范圍是（　�。�

• A、（

  π

  3

  -1，

  π

  3

  +1）
• B、[

  π

  3

  ，

  π

  3

  +1）
• C、（

  2π

  3

  -1，

  2π

  3

  +1）
• D、[

  2π

  3

  ，

  2π

  3

  +1）

Answer 1

考點(diǎn)：正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義、函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸方程求得x₁+x₂=

π

3

．再根據(jù)y=2sin（2x+

π

6

）的圖象和直線 y=1-a在區(qū)間[0，

π

2

]上有兩個(gè)交點(diǎn)，正弦函數(shù)的定義域和值域求得a的范圍，可得x₁+x₂-a的取值范圍．

解答： 解：函數(shù)f（x）=2sin（2x+

π

6

）+a-1的周期為π，令2x+

π

6

=

π

2

，求得x=

π

6

，可得函數(shù)在y軸右側(cè)的第一條對(duì)稱軸方程為x=

π

6

．
由于函數(shù)的兩個(gè)兩個(gè)零點(diǎn)為x₁，x₂，∴x₁+x₂=2×

π

6

=

π

3

．
由函數(shù)f（x）=2sin（2x+

π

6

）+a-1（a∈R）在區(qū)間[0，

π

2

]上有兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂（x₁≠x₂），
可得y=2sin（2x+

π

6

）的圖象和直線 y=1-a在區(qū)間[0，

π

2

]上有兩個(gè)交點(diǎn)．
由x∈區(qū)間[0，

π

2

]，可得 2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，2sin（2x+

π

6

）∈[-1，2]，∴1≤1-a＜2，
求得-1＜a≤0，故0≤-a＜1，∴

π

3

≤x₁+x₂-a＜

π

3

+1，
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦函數(shù)的圖象特征，函數(shù)零點(diǎn)的定義，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．