已知數(shù)列{an}滿足前n項和Sn=n2+1,數(shù)列{bn}滿足bn=
2
an+1
,且前n項和為Tn,設(shè)cn=T2n+1-Tn
(1)求數(shù)列{bn}的通項公式;
(2)判斷數(shù)列{cn}的單調(diào)性;
(3)當(dāng)n≥2時,T2n+1-Tn
1
5
-
7
12
log2(a-1)的取值范圍.
考點:數(shù)列遞推式
專題:點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法
分析:(1)由數(shù)列{an}的前n項和公式Sn=n2+1,先求出an,再由bn=
2
an+1
即可求數(shù)列{bn}的通項公式.
(2)求出cn的通項公式,利用作差法求出cn+1-cn的符號,即可判斷{cn}的單調(diào)性.
(3)根據(jù)(2)求出的T2n+1-Tn最大值,結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)解不等式即可.
解答: 解:(1)a1=2,an=Sn-Sn-1=2n-1(n≥2).
∴an=
2,n=1
2n-1,n≥2

∵bn=
2
an+1
,
∴當(dāng)n=1時,b1=
2
3
,
當(dāng)n≥2時,bn=
2
an+1
=
2
2n-1+1
=
1
n

即bn=
2
3
,
n=1
1
n
,
n≥2

(2)∵cn=T2n+1-Tn=bn+1+bn+2+…+b2n+1
=
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
2n+1
,
∴cn+1-cn=
1
2n+2
+
1
2n+3
-
1
n+1
<0,
∴{cn}是遞減數(shù)列.
(3)由(2)知,cn=T2n+1-Tn=bn+1+bn+2+…+b2n+1=
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
2n+1
單調(diào)遞減,
則當(dāng)n=2時,c2=
1
3
+
1
4
+
1
5
為最大,
由T2n+1-Tn
1
5
-
7
12
log2(a-1)得,
1
3
+
1
4
+
1
5
1
5
-
7
12
log2(a-1),
1
3
+
1
4
<-
7
12
log2(a-1),
7
12
<-
7
12
log2(a-1),
即log2(a-1)>-1
∴a-1
1
2
,
即a
5
2
點評:本題主要考查數(shù)列遞推關(guān)系的應(yīng)用,根據(jù)條件求出數(shù)列的通項公式是解決本題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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函數(shù)y=5sin(
π
6
-
π
3
x)的最小正周期為
 

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從集合A={1,2,3…n}中取出r個數(shù)組成一組,若滿足①數(shù)字允許重復(fù)出現(xiàn)②不計數(shù)字的順序,則稱其為集合A的一個r可重組合,這樣的組合共有
 

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已知一塊大理石表示的幾何體的三視圖如圖所示,將該大理石切削、打磨加工成球體,則能得到的最大球體的體積為( 。
A、
3
B、
32π
3
C、36π
D、
256π
3

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(Ⅱ)從數(shù)列{an}中依次取出第2項,第4項,第8項,…,第2n項,…,按原來順序組成一個新數(shù)列{bn},記該數(shù)列的前n項和為Tn,求Tn的表達(dá)式.

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已知A,B是以O(shè)為圓心的單位圓上的動點,且|
AB
|=
2
,則
OB
AB
=( 。
A、-1
B、1
C、-
2
2
D、
2
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=
2
,∠ACB=90°,AA1=2
3
,D是A1B1中點.
(1)求證:C1D⊥AB1;
(2)若點F是BB1上的動點,求FB1的長度,使AB1⊥面C1DF.

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(x-
2
x
6的展開式的常數(shù)項是
 
(應(yīng)用數(shù)字作答).

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已知函數(shù)f(x)=ex-
(x+1)2
2
,g(x)=2ln(x+1)+e-x
(I)x∈(-1,+∞)時,證明:f(x)>0;
(Ⅱ)a>0,若g(x)≤ax+1,求a的取值范圍.

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