已知數(shù)列{a
n}滿足前n項和S
n=n
2+1,數(shù)列{b
n}滿足b
n=
,且前n項和為T
n,設(shè)c
n=T
2n+1-T
n(1)求數(shù)列{b
n}的通項公式;
(2)判斷數(shù)列{c
n}的單調(diào)性;
(3)當(dāng)n≥2時,T
2n+1-T
n<
-
log
2(a-1)的取值范圍.
考點:數(shù)列遞推式
專題:點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法
分析:(1)由數(shù)列{a
n}的前n項和公式S
n=n
2+1,先求出a
n,再由b
n=
即可求數(shù)列{b
n}的通項公式.
(2)求出c
n的通項公式,利用作差法求出c
n+1-c
n的符號,即可判斷{c
n}的單調(diào)性.
(3)根據(jù)(2)求出的T
2n+1-T
n最大值,結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)解不等式即可.
解答:
解:(1)a
1=2,a
n=S
n-S
n-1=2n-1(n≥2).
∴a
n=
,
∵b
n=
,
∴當(dāng)n=1時,b
1=
,
當(dāng)n≥2時,b
n=
=
=,
即b
n=
.
(2)∵c
n=T
2n+1-T
n=b
n+1+b
n+2+…+b
2n+1=
+
+…+
,
∴c
n+1-c
n=
+
-
<0,
∴{c
n}是遞減數(shù)列.
(3)由(2)知,c
n=T
2n+1-T
n=b
n+1+b
n+2+…+b
2n+1=
+
+…+
單調(diào)遞減,
則當(dāng)n=2時,
c2=
++為最大,
由T
2n+1-T
n<
-
log
2(a-1)得,
++<
-
log
2(a-1),
+<-
log
2(a-1),
即
<-
log
2(a-1),
即log
2(a-1)>-1
∴a-1
>,
即a
>.
點評:本題主要考查數(shù)列遞推關(guān)系的應(yīng)用,根據(jù)條件求出數(shù)列的通項公式是解決本題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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.
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.
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|=
,則
•
=( 。
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1B
1C
1中,AC=BC=
,∠ACB=90°,AA
1=2
,D是A
1B
1中點.
(1)求證:C
1D⊥AB
1;
(2)若點F是BB
1上的動點,求FB
1的長度,使AB
1⊥面C
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)
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x-
,g(x)=2ln(x+1)+e
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(Ⅱ)a>0,若g(x)≤ax+1,求a的取值范圍.
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