Question

若函數(shù)y=f（x）滿足f（a+x）+f（a-x）=2b（其中a，b不同時為0），則稱函數(shù)y=f（x）為“準(zhǔn)奇函數(shù)”，稱點（a，b）為函數(shù)f（x）的“中心點”．現(xiàn)有如下命題：
①函數(shù)f（x）=sinx+1是準(zhǔn)奇函數(shù)；
②函數(shù)f（x）=x³是準(zhǔn)奇函數(shù)；
③若準(zhǔn)奇函數(shù)y=f（x）在R上的“中心點”為（a，f（a）），則函數(shù)F（x）=f（x+a）-f（a）為R上的奇函數(shù)；
④已知函數(shù)f（x）=x³-3x²+6x-2是準(zhǔn)奇函數(shù)，則它的“中心點”為（1，2）；
其中正確的命題是

 

．（寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由誘導(dǎo)公式，計算f（-x）+f（x），即可判斷①；由f（-x）+f（x）=0，則a=b=0，不滿足條件，即可判斷②；
運用準(zhǔn)奇函數(shù)的定義和奇函數(shù)的定義，即可判斷③；運用準(zhǔn)奇函數(shù)的定義，化簡整理，由恒等式知識求出中心，即可判斷④．

解答： 解：對于①，函數(shù)f（x）=sinx+1有f（-x）+f（x）=sin（-x）+1+sinx+1=-sinx+sinx+2=2，
則y=f（x）為“準(zhǔn)奇函數(shù)”，且（0，1）為f（x）的“中心點”，則①正確；
對于②，函數(shù)f（x）=x³，由f（-x）+f（x）=0，則a=b=0，不滿足條件，則②不正確；
對于③，若準(zhǔn)奇函數(shù)y=f（x）在R上的“中心點”為（a，f（a）），即有f（a+x）+f（a-x）=2f（a），
F（-x）+F（x）=f（a-x）-f（a）+f（x+a）-f（a）=2f（a）-2f（a）=0，則函數(shù)F（x）=f（x+a）-f（a）
為R上的奇函數(shù)，則③正確；
對于④，已知函數(shù)f（x）=x³-3x²+6x-2是準(zhǔn)奇函數(shù)，則f（a+x）+f（a-x）
=（a+x）³-3（a+x）²+6（a+x）-2+（a-x）³-3（a-x）²+6（a-x）-2=（6a-6）x²+（2a³-6a²+12a-4）=2b，
即有6a-6=0且2a³-6a²+12a-4=2b，解得a=1，b=2，．則它的“中心點”為（1，2），則④正確．
故答案為：①③④．

點評：本題考查新定義的理解和運用，考查函數(shù)的性質(zhì)和運用，主要考查函數(shù)的對稱性，運用定義和掌握定義是迅速解題的關(guān)鍵．