在直角坐標(biāo)系中,點到兩點的距離之和等于4,設(shè)點的軌跡為,直線交于兩點.
(1)寫出的方程;
(2)若點在第一象限,證明當(dāng)時,恒有.

(1);(2)詳見解析.

解析試題分析:(1)根據(jù)橢圓的定義,可判斷點的軌跡為橢圓,再根據(jù)橢圓的基本量,容易寫出橢圓的方程,求曲線的方程一般可設(shè)動點坐標(biāo)為,然后去探求動點坐標(biāo)滿足的方程,但如果根據(jù)特殊曲線的定義,先行判斷出曲線的形狀(如橢圓,圓,拋物線等),則可直接寫出其方程;(2)一般地,涉及直線與二次曲線相交的問題,則可聯(lián)立方程組,或解出交點坐標(biāo),或設(shè)而不求,利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系建立關(guān)系求出參數(shù)的值(取值范圍),本題可設(shè),根據(jù)兩點坐標(biāo)滿足的方程,去判斷的符號.
試題解析:(1)設(shè),由橢圓定義可知,點的軌跡是以為焦點,長半軸為2的橢圓,它的短半軸,      2分
故曲線的方程為.     5分
(2)證明:設(shè),其坐標(biāo)滿足消去并整理,得
                       7分
.           9分
.                                     11分
因為在第一象限,故.
,從而.
,故,
即在題設(shè)條件下,恒有.                                                        13分
考點:橢圓的方程,直線與橢圓的位置關(guān)系.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知平面內(nèi)一動點P到點F(1,0)的距離與點P到y(tǒng)軸的距離的差等于1.
(Ⅰ)求動點P的軌跡C的方程;
(Ⅱ)過點F作兩條斜率存在且互相垂直的直線l1,l2,設(shè)l1與軌跡C相交于點A,B,l2與軌跡C相交于點D,E,求的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知左焦點為的橢圓過點.過點分別作斜率為的橢圓的動弦,設(shè)分別為線段的中點.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若為線段的中點,求;
(3)若,求證直線恒過定點,并求出定點坐標(biāo).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知橢圓的左焦點為,右焦點為

(Ⅰ)設(shè)直線過點且垂直于橢圓的長軸,動直線垂直于點P,線段的垂直平分線交于點M,求點M的軌跡的方程;
(Ⅱ)設(shè)為坐標(biāo)原點,取曲線上不同于的點,以為直徑作圓與相交另外一點,求該圓的面積最小時點的坐標(biāo).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

在平面直角坐標(biāo)系中,動點到兩點,的距離之和等于,設(shè)點的軌跡為曲線,直線過點且與曲線交于,兩點.
(1)求曲線的軌跡方程;
(2)是否存在△面積的最大值,若存在,求出△的面積;若不存在,說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知橢圓)右頂點與右焦點的距離為,短軸長為.
(I)求橢圓的方程;  
(II)過左焦點的直線與橢圓分別交于、兩點,若三角形的面積為,求直線的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知拋物線的焦點為,過任作直線(軸不平行)交拋物線分別于兩點,點關(guān)于軸對稱點為,

(1)求證:直線軸交點必為定點;
(2)過分別作拋物線的切線,兩條切線交于,求的最小值,并求當(dāng)取最小值時直線的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知橢圓C:=1(a>b>0)的焦距為4,且與橢圓x2=1有相同的離心率,斜率為k的直線l經(jīng)過點M(0,1),與橢圓C交于不同的兩點A、B.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)當(dāng)橢圓C的右焦點F在以AB為直徑的圓內(nèi)時,求k的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

極坐標(biāo)系中橢圓C的方程為以極點為原點,極軸為軸非負(fù)半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,且兩坐標(biāo)系取相同的單位長度.
(Ⅰ)求該橢圓的直角標(biāo)方程;若橢圓上任一點坐標(biāo)為,求的取值范圍;
(Ⅱ)若橢圓的兩條弦交于點,且直線的傾斜角互補(bǔ),
求證:.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案