已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F(1,0)的距離與點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離的差等于1.
(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)F作兩條斜率存在且互相垂直的直線l1,l2,設(shè)l1與軌跡C相交于點(diǎn)A,B,l2與軌跡C相交于點(diǎn)D,E,求的最小值.
(Ⅰ)當(dāng)x≥0時(shí),y2=4x;當(dāng)x<0時(shí),y=0;(Ⅱ)16.
解析試題分析:(Ⅰ)要求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C,設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),根據(jù)題意列出關(guān)系式-|x|=1,化簡得y2=2x+2|x|,式中有絕對值,需要根據(jù)x討論為當(dāng)x≥0時(shí),y2=4x;當(dāng)x<0時(shí),y=0;(Ⅱ)由題意知,直線l1的斜率存在且不為0,可以設(shè)為k,則l1的方程為y=k(x-1),聯(lián)立得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,接著設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1,x2是上述方程的兩個(gè)實(shí)根,于是x1+x2=2+,x1x2=1.而l1⊥l2,則l2的斜率為-,設(shè)D(x3,y3),E(x4,y4),則同理可得x3+x4=2+4k2,x3x4=1,利用坐標(biāo)表示出,化簡得=8+4(k2+)≥8+4×2=16,故當(dāng)且僅當(dāng)k2=,即k=±1時(shí),取最小值16.
試題解析:(Ⅰ)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),由題意有
-|x|=1,
化簡,得y2=2x+2|x|.
當(dāng)x≥0時(shí),y2=4x;當(dāng)x<0時(shí),y=0.
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為y2=4x(x≥0)和y=0(x<0).
(Ⅱ)由題意知,直線l1的斜率存在且不為0,設(shè)為k,則l1的方程為y=k(x-1).
由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1,x2是上述方程的兩個(gè)實(shí)根,于是
x1+x2=2+,x1x2=1.
∵l1⊥l2,∴l(xiāng)2的斜率為-.
設(shè)D(x3,y3),E(x4,y4),則同理可得x3+x4=2+4k2,x3x4=1.
故=(+)·(+)=·+·+·+·
=||||+||||
=(x1+1)(x2+1)+(x3+1)(x4+1)
=x1x2+(x1+x2)+1+x3x4+(x3+x4)+1
=1+(2+)+1+1+(2+4k2)+1
=8+4(k2+)≥8+4×2=16.
當(dāng)且僅當(dāng)k2=,即k=±1時(shí),取最小值16.
考點(diǎn):1.曲線的軌跡方程求解;2.直線與圓錐曲線問題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,直線y=kx+b與橢圓交于A、B兩點(diǎn),記△AOB的面積為S.
(1)求在k=0,0<b<1的條件下,S的最大值;
(2)當(dāng)|AB|=2,S=1時(shí),求直線AB的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3,最小值為1.
(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若直線l:與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn)(A,B不是左右頂點(diǎn)),且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)。求證: 直線l過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)橢圓:的左、右焦點(diǎn)分別是、,下頂點(diǎn)為,線段的中點(diǎn)為(為坐標(biāo)原點(diǎn)),如圖.若拋物線:與軸的交點(diǎn)為,且經(jīng)過、兩點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè),為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)作拋物線的切線交橢圓于、兩點(diǎn),求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為,,以為圓心的圓與相切于點(diǎn),的縱坐標(biāo)為,是圓與軸除外的另一個(gè)交點(diǎn).
(I)求拋物線與圓的方程;
(II)過且斜率為的直線與交于兩點(diǎn),求的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)雙曲線以橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為焦點(diǎn),且雙曲線的一條漸近線是,
(1)求雙曲線的方程;
(2)若直線與雙曲線交于不同兩點(diǎn),且都在以為圓心的圓上,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)F在軸上,離心率,點(diǎn)在橢圓C上.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若斜率為的直線交橢圓與、兩點(diǎn),且、、成等差數(shù)列,點(diǎn)M(1,1),求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
以點(diǎn)F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0)為焦點(diǎn)的橢圓C經(jīng)過點(diǎn)(1,)。
(I)求橢圓C的方程;
(II)過P點(diǎn)分別以為斜率的直線分別交橢圓C于A,B,M,N,求證: 使得
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和等于4,設(shè)點(diǎn)的軌跡為,直線與交于兩點(diǎn).
(1)寫出的方程;
(2)若點(diǎn)在第一象限,證明當(dāng)時(shí),恒有.
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