【題目】如圖,四邊形ABCD為菱形,四邊形ACFE為平行四邊形,設BDAC相交于點G,ABBDAE2,∠EAD=∠EAB

1)證明:平面ACFE⊥平面ABCD;

2)若直線AEBC的夾角為60°,求直線EF與平面BED所成角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析(2)

【解析】

1)先由已知條件求得,得到,再結(jié)合菱形的對角線垂直,可得平面,即可證得平面ACFE⊥平面ABCD;

2)建立空間直角坐標系,求得各點的坐標,設的坐標,根據(jù)條件求出,再求得直線的方向向量和平面的法向量,利用向量的夾角公式,即可求解.

1)證明:連接EG,因為ABBDAE2,∠EAD=∠EAB,

可得EADEAB,∴EDEB

GBD的中點,所以EGBD,因為四邊形ABCD為菱形,∴ACBD,

BD⊥平面ACEF,因為BD平面ABCD;

∴平面ACFE⊥平面ABCD;

2)因為EFAG,直線EF與平面BED所成角即為AG與平面BED所成角;

G為原點建立如圖所示空間直角坐標系,如圖所示,

Ea0,b)則a,0,b),

因為,﹣1,0),

所以由條件可得:||2=(a2+b24a+32×2×cos60°2;

解得,所以,﹣1),因為0,20);

所以可取平面BED的法向量20,﹣1),因為(﹣20,0),

設直線EF與平面BED所成角為θ,則sinθ

0θ;∴sosθ

既直線EF與平面BED所成角的余弦值為

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