Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為正方形，為等邊三角形，平面平面.

（1）證明：平面平面；

（2）若，為線段的中點(diǎn)，求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

(1) 取的中點(diǎn)，連結(jié),根據(jù)面面垂直得到平面，所以，再由可得到線面垂直，進(jìn)而得到面面垂直；（2）平面，所以，兩點(diǎn)到平面的距離相等，均為，為線段的中點(diǎn)，所以到平面的距離，再由公式得到體積.

證明：（1）取的中點(diǎn)，連結(jié)，

因?yàn)?/span>為等邊三角形，

所以.

又因?yàn)?/span>平面，平面平面，平面平面，

所以平面.

因?yàn)?/span>平面，

所以.

因?yàn)榈酌?/span>為正方形，

所以.

因?yàn)?/span>，

所以平面，

又因?yàn)?/span>平面，

所以平面平面.

（2）由（1）得平面，

所以到平面的距離.

因?yàn)榈酌?/span>為正方形，

所以.

又因?yàn)?/span>平面，平面，

所以平面.

所以，兩點(diǎn)到平面的距離相等，均為.

又為線段的中點(diǎn)，

所以到平面的距離.

由（1）知，平面，因?yàn)?/span>平面，所以，

所以.