【題目】如圖，已知圓的方程為，圓的方程為，若動圓與圓內(nèi)切，與圓外切．

（Ⅰ）求動圓圓心的軌跡的方程；

（Ⅱ）過直線上的點作圓的兩條切線，設切點分別是，，若直線與軌跡交于，兩點，求的最小值．

【答案】（1）（2）

【解析】

（Ⅰ）設動圓的半徑為，由題動圓與圓內(nèi)切，與圓外切，則

，由此即可得到動圓圓心的軌跡是以為焦點，長軸長為的橢圓，進而得到動圓圓心的軌跡的方程；

（Ⅱ）設直線上任意一點的坐標是，切點坐標分別是，

；則經(jīng)過點的切線斜方程是，同理經(jīng)過點的切線方程是，又兩條切線，相交于 .可得經(jīng)過兩點的直線的方程是，對分類討論分別求出的值，即可得到的最小值.

（Ⅰ）設動圓的半徑為，∵動圓與圓內(nèi)切，與圓外切，

∴，且.于是，，

所以動圓圓心的軌跡是以為焦點，長軸長為的橢圓.從而，，

所以.故動圓圓心的軌跡的方程為．

（Ⅱ）設直線上任意一點的坐標是，切點坐標分別是，

；則經(jīng)過點的切線斜率，方程是，

經(jīng)過點的切線方程是，又兩條切線，相交于 .

則有，所以經(jīng)過兩點的直線的方程是，

①當時，有，，，，則；

②當時，聯(lián)立，整理得；

設坐標分別為，，則，

所以，

綜上所述，當時，有最小值．

練習冊系列答案
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（1）當，時，求函數(shù)的最小值；

（2）當，時，求證方程在區(qū)間上有唯一實數(shù)根；

（3）當時，設是函數(shù)兩個不同的極值點，證明：.

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【題目】為了解中學生課余觀看熱門綜藝節(jié)目“爸爸去哪兒”是否與性別有關，某中學一研究性學習小組從該校學生中隨機抽取了人進行問卷調(diào)查．調(diào)查結(jié)果表明：女生中喜歡觀看該節(jié)目的占女生總?cè)藬?shù)的，男生喜歡看該節(jié)目的占男生總?cè)藬?shù)的．隨后，該小組采用分層抽樣的方法從這份問卷中繼續(xù)抽取了份進行重點分析，知道其中喜歡看該節(jié)目的有人．

(1) 現(xiàn)從重點分析的人中隨機抽取了人進行現(xiàn)場調(diào)查，求這兩人都喜歡看該節(jié)目的概率；

(2) 若有的把握認為“愛看該節(jié)目與性別有關”，則參與調(diào)查的總?cè)藬?shù)至少為多少？

參考數(shù)據(jù)：

0．050

0．025

0．010

0．005

0．001

3．841

5．024

6．635

7．879

10．828

，其中．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面邊長為a，E是PC的中點．

（Ⅰ）求證：PA∥平面BDE；

（Ⅱ）平面PAC⊥平面BDE；

（Ⅲ）若二面角E-BD-C為30°，求四棱錐P-ABCD的體積．

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【題目】已知點，是函數(shù)的圖像上任意不同的兩點，依據(jù)圖像可知，線段總是位于兩點之間函數(shù)圖像的上方，因此有結(jié)論成立，運用類比的思想方法可知，若點，是函數(shù)的圖像上任意不同的兩點，則類似地有_________成立.

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【題目】某投資公司對以下兩個項目進行前期市場調(diào)研:項目:通信設備.根據(jù)調(diào)研,投資到該項目上，所有可能結(jié)果為:獲利、損失、不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為；項目:新能源汽車.根據(jù)調(diào)研，投資到該項目上，所有可能結(jié)果為:獲利、虧損，且這兩種情況發(fā)生的概率分別為.經(jīng)測算，當投入兩個項目的資金相等時，它們所獲得的平均收益(即數(shù)學期望)也相等.

(1)求的值;

(2)若將萬元全部投到其中的一個項目，請你從投資回報穩(wěn)定性考慮，為投資公司選擇一個合理的項目，并說明理由.

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（1）當，時，求函數(shù)的最小值；

（2）當，時，求證方程在區(qū)間上有唯一實數(shù)根；

（3）當時，設是函數(shù)兩個不同的極值點，證明：.

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【題目】隨著“北京八分鐘”在韓國平昌冬奧會驚艷亮相，冬奧會正式進入了北京周期，全社會對冬奧會的熱情空前高漲.

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依據(jù)表格給出的數(shù)據(jù)，是否可用線性回歸模型擬合與的關系，請計算相關系數(shù)并加以說明(計算結(jié)果精確到0.01).

(若，則線性相關程度很高，可用線性回歸模型擬合）

附：相關系數(shù)公式，參考數(shù)據(jù).

（2）某冰雪運動用品專營店為吸引廣大冰雪愛好者，特推出兩種促銷方案.

方案一:每滿600元可減100元；

方案二:金額超過600元可抽獎三次，每次中獎的概率同為 ，且每次抽獎互不影響，中獎1次打9折，中獎2次打8折，中獎3次打7折. v

兩位顧客都購買了1050元的產(chǎn)品，并且都選擇第二種優(yōu)惠方案，求至少有一名顧客比選擇方案一更優(yōu)惠的概率；

②如果你打算購買1000元的冰雪運動用品，請從實際付款金額的數(shù)學期望的角度分析應該選擇哪種優(yōu)惠方案.

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