Question

【題目】已知橢圓（）的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，且的最小值為，離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若動(dòng)直線(xiàn)與橢圓交于不同兩點(diǎn)、（、都在軸上方），且.

（i）當(dāng)為橢圓與軸正半軸的交點(diǎn)時(shí)，求直線(xiàn)的方程；

（ii）對(duì)于動(dòng)直線(xiàn)，是否存在一個(gè)定點(diǎn)，無(wú)論如何變化，直線(xiàn)總經(jīng)過(guò)此定點(diǎn)？若存在，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）（i）；（ii）存在定點(diǎn).

【解析】

（I）結(jié)合橢圓的性質(zhì)，計(jì)算a,b的值，即可。（II）（i）計(jì)算直線(xiàn)AF的斜率，得到BF的斜率，得到直線(xiàn)BF的方程，代入橢圓方程，得到B點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算AB直線(xiàn)的斜率，結(jié)合點(diǎn)斜式，計(jì)算方程，即可。（ii）設(shè)出直線(xiàn)AF的方程，代入橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理，得到直線(xiàn)AB的斜率，設(shè)出直線(xiàn)AB的方程，令y=0，計(jì)算x的值，計(jì)算點(diǎn)坐標(biāo)，即可。

解：（I）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（）

離心率為，，，

點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，且的最小值為，

，，

解得，，

橢圓的方程為.

（II）

（i）由題意，，

，，

直線(xiàn)為：，

代入，得，解得或，

代入，得，舍，或，.

，直線(xiàn)的方程為：.

（ii）存在一個(gè)定點(diǎn)，無(wú)論如何變化，直線(xiàn)總經(jīng)過(guò)此定點(diǎn).

證明：，在于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在直線(xiàn)上，

設(shè)直線(xiàn)的方程為：，

代入，得，

由韋達(dá)定理得，，

由直線(xiàn)的斜率，得的方程為：

令，得：

，

，，

，

對(duì)于動(dòng)直線(xiàn)，存在一個(gè)定點(diǎn)，無(wú)論如何變化，直線(xiàn)總經(jīng)過(guò)此定點(diǎn).