Question

若函數(shù)f（x）的圖象能夠把橢圓的周長和面積同時分為相等的兩部分，則函數(shù)f（x）稱為橢圓的“可分函數(shù)”，下列函數(shù)不是橢圓

x2

4

+y²=1的“可分函數(shù)”為（　�。�

• A、f（x）=x³
• B、f（x）=sinx
• C、f（x）=ln

  2-x

  2+x

• D、f（x）=e^x+e^-x-2

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：關于原點對稱的函數(shù)都可以等分橢圓周長、面積，驗證哪個函數(shù)不是奇函數(shù)即可．

解答： 解：A中，∵f（x）=x³是奇函數(shù)，∴f（x）=x³的圖象關于原點對稱，
故f（x）=x³是橢圓的“可分函數(shù)”；
B中，∵f（x）=sinx是奇函數(shù)，∴f（x）=sinx的圖象關于原點對稱，
故f（x）=sinx是橢圓

x2

4

+y²=1的“可分函數(shù)”；
C中，∵f（x）+f（-x）=ln

2-x

2+x

+ln

2+x

2-x

=ln1=0，
∴f（x）是奇函數(shù)，∴f（x）=ln

2-x

2+x

的圖象關于原點對稱，
故f（x）=ln

2-x

2+x

是橢圓的“可分函數(shù)”；
D中，∵f（x）=e^x+e^-x-2不是奇函數(shù)，
∴f（x）=e^x+e^-x-2的圖象關于原點不對稱，
∴f（x）=e^x+e^-x-2不是橢圓的“可分函數(shù)”．
故選：D．

點評：本題考查橢圓的“可分函數(shù)”的判斷，是基礎題，解題時要準確把握題意并合理轉(zhuǎn)化，注意函數(shù)的奇偶性的合理運用．