Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=cosx（sinx+cosx）－，x∈R.

（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）設(shè)>0，若函數(shù)g（x）=f（x+）為奇函數(shù)，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）T=，[－+k，+k]（k∈Z）.（2）min=.

【解析】分析：（1）整理函數(shù)的解析式可得f（x）=sin（2x+），則函數(shù)的最小正周期為T=，單調(diào)遞增區(qū)間為[－+k，+k]（k∈Z）.

（2）由題意可知g（x）=f（x+）=sin[2x+（2+）].結(jié)合奇函數(shù)的定義即可求得的最小值.

詳解：（1）f（x）=cosx（sinx+cosx）－=sin（2x+），

T=，f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為[－+k，+k]（k∈Z）.

（2）f（x）=cosx（sinx+cosx）－=sin（2x+），

g（x）=f（x+）=sin[2（x+）+]=sin[2x+（2+）].

由函數(shù)g（x）=f（x+）為奇函數(shù)，所以g（－x）=－g（x），

即sin[－2x+（2+）]=－sin[2x+（2+）]，

展開整理得cos 2x sin（2+）=0 對(duì)x∈R都成立，

所以sin（2+）=0，

即2+=k，k∈Z，且>0，

所以min=.