Question

如圖所示的幾何體為一簡(jiǎn)單組合體，其底面ABCD為菱形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=2EC．
（1）若N為線段PB的中點(diǎn)，求證：NE∥平面ABCD；
（2）若∠ADC=120°，且PD=BC=2，求該簡(jiǎn)單組合體的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連接AC，BD，設(shè)AC∩BD=O，連接EO根據(jù)ABCD為菱形，推斷出O為BD中點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)N為線段PB的中點(diǎn)，證明出NO∥PD，NO=

1

2

PD，又根據(jù)EC∥PD，且PD=2EC，推斷出四邊形NOCE為平行四邊形，可知NE∥OC，最后利用線面平行的判定定理推斷出NE∥平面ABCD．
（2）根據(jù)底面ABCD為菱形且∠DCB=60°判斷出△BCD為正三角形，取CD中點(diǎn)F，連接BF，則可知BF⊥CD，依據(jù)PD⊥平面ABCDBF?平面ABCD，推斷春PD⊥BF，進(jìn)而利用線面垂直的判定定理推斷出BF⊥平面PDCE，同時(shí)根據(jù)PD⊥平面ABCD，DC?平面ABCD，推斷出PD⊥DC，進(jìn)而求得四邊形PDCE的面積即棱錐B-CDFE的體積，通過(guò)面積公式求得三角形ABD的面積，則棱錐P-ABD的體積可得，最后把這兩個(gè)棱錐的體積相加即可．

解答： （1）證明：連接AC，BD，設(shè)AC∩BD=O，連接EO
∵底面ABCD為菱形，
∴O為BD中點(diǎn)，
又N為線段PB的中點(diǎn)，
∴NO∥PD，NO=

1

2

PD，
又EC∥PD，且PD=2EC，
∴EC∥NO，EC=NO，
∴四邊形NOCE為平行四邊形，
∴NE∥OC，
又NE?平面ABCD，OC?平面ABCD，
∴NE∥平面ABCD．
（2）∵底面ABCD為菱形且∠DCB=60°
∴△BCD為正三角形，取CD中點(diǎn)F，連接BF，
∴BF⊥CD，
∵PD⊥平面ABCD，BF?平面ABCD，
∴PD⊥BF
又PD∩CD=D，
∴BF⊥平面PDCE，
∵PD⊥平面ABCDDC?平面ABCD，
∴PD⊥DC，
∴四邊形PDCE的面積S1=

(PD+CE)•CD

2

=

(2+1)•2

2

=3，
而BF=

3

2

BC=

3

2

•2=

3

，
∴VB-CDFE=

1

3

S1•BF=

1

3

•3•

3

=

3

，
而S△ABD=

1

2

AD•AB•sin60°=

1

2

•2•2•

3

2

=

3

，
∴VP-ABD=

1

3

S△ABD•PD=

1

3

•

3

•2=

2 3

3

，
∴該簡(jiǎn)單組合體的體積為VB-CDFE+VP-ABD=

3

+

2 3

3

=

5 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線面平行和線面垂直的判定定理的應(yīng)用．考查了學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用．