Question

已知雙曲線x²-y²=1，設(shè)直線y=kx+1與雙曲線C的左支交與一個(gè)公共點(diǎn)，求k的取值．

Answer 1

分析：首先分析題目已知直線y=kx+1與雙曲線C的左支交與一個(gè)公共點(diǎn)，可以考慮到把直線方程代入雙曲線方程，轉(zhuǎn)化為求一元二次方程有一個(gè)負(fù)根的情況，然后分類(lèi)討論當(dāng)（1）當(dāng)k=1時(shí)，（2）當(dāng)k=-1時(shí)，（3）當(dāng)k≠-1或k≠1時(shí)的情況即可得到答案．

解答：解：已知直線y=kx+1①與雙曲線C：x²-y²=1②的左支只有一個(gè)公共點(diǎn)，即可得到交點(diǎn)的橫坐標(biāo)小于于0．
把方程①代入②，整理得方程（1-k²）X²-2kx-2=0③恰有一負(fù)根，
（1）當(dāng)k=1時(shí)，方程③變?yōu)?2x-2=0，得x=-1，成立．
（2）當(dāng)k=-1時(shí)，方程③變?yōu)?x-2=0，x=1，不成立舍去．
（3）當(dāng)k≠-1或k≠1時(shí)△=4k²+8（1-K²）=0，k=土

2

k=

2

時(shí)x=-

2

；
k=-

2

時(shí)x=

2

舍去．
綜上k=

2

 k=1為所求．
故答案為k=

2

或k=1．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查直線與圓錐曲線交點(diǎn)的問(wèn)題，題中涉及到求一元二次方程有一個(gè)根的求法，用到分類(lèi)討論思想和求判別式的方法，有一定的技巧性屬于中檔題目．