Question

平面內(nèi)兩定點(diǎn)M（0，-2）和N（0，2），動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足|

PM

|•|

PN

|=m（m≥4），動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線E，給出以下五個(gè)命題：
①存在m，使曲線E過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)；
②對(duì)于任意m，曲線E與x軸有三個(gè)交點(diǎn)；
③曲線E關(guān)于y軸對(duì)稱，但不關(guān)于x軸對(duì)稱；
④若P、M、N三點(diǎn)不共線，則△PMN周長(zhǎng)的最小值為2

m

+4；
⑤曲線E上與M、N不共線的任意一點(diǎn)G關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為H，則四邊形GMHN的面積不大于m．
其中真命題的序號(hào)是

 

（填上所有正確命題的序號(hào)）．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用,軌跡方程

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：利用平面內(nèi)兩定點(diǎn)M（0，-2）和N（0，2），動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足|

PM

|•|

PN

|=m（m≥4），可得

x2+(y+2)2

•

x2+(y-2)2

=m，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，即可得出結(jié)論．

解答： 解：∵平面內(nèi)兩定點(diǎn)M（0，-2）和N（0，2），動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足|

PM

|•|

PN

|=m（m≥4），
∴

x2+(y+2)2

•

x2+(y-2)2

=m
①（0，0）代入，可得m=4，∴①正確；
②令y=0，可得x²+4=m，∴對(duì)于任意m，曲線E與x軸有三個(gè)交點(diǎn)，不正確；
③曲線E關(guān)于x軸對(duì)稱，但不關(guān)于y軸對(duì)稱，故不正確；
④若P、M、N三點(diǎn)不共線，|

PM

|+|

PN

|≥2

| PM |•| PN |

=2

m

，所以△PMN周長(zhǎng)的最小值為2

m

+4，正確；
⑤曲線E上與M、N不共線的任意一點(diǎn)G關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為H，則四邊形GMHN的面積為2S_△MNG=|GM||GN|sin∠MGN≤m，∴四邊形GMHN的面積最大為不大于m，正確．
故答案為：①④⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查命題的真假判斷，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．