Question

已知雙曲線x²-y²=2的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，過(guò)點(diǎn)F₂的動(dòng)直線與雙曲線相交于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）若動(dòng)點(diǎn)M滿足

F1M

=

F1A

+

F1B

+

F1O

（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求點(diǎn)M的軌跡方程；
（Ⅱ）在x軸上是否存在定點(diǎn)C，使

CA

•

CB

為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據(jù)條件求出左、右焦點(diǎn)的坐標(biāo)，并設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），然后表示出向量

F1M

，

F1B

，

F1A

，

F1O

，根據(jù)

F1M

=

F1A

+

F1B

+

F1O

可得到x₁，x₂，x以及y₁，y₂，y的關(guān)系，即可表示出AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，然后分AB不與x軸垂直和AB與x軸垂直兩種情況進(jìn)行討論．

（Ⅱ）假設(shè)在x軸上存在定點(diǎn)C（m，0），使

CA

•

CB

為常數(shù)，當(dāng)AB不與x軸垂直時(shí)，設(shè)出直線AB的方程，然后與雙曲線方程聯(lián)立消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，進(jìn)而可得到兩根之和與兩根之積，表示出向量

CA

•

CB

并將所求的兩根之和與兩根之積代入整理即可求出C的坐標(biāo)；當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)可直接得到A，B的坐標(biāo)，再由

CA

•

CB

=-1，可確定答案．

解答：解：由條件知F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
（Ⅰ）設(shè)M（x，y），則

F1M

=(x+2，y)，

F1A

=(x1+2，y1)，

F1B

=(x2+2，y2)，

F1O

=(2，0)，
由

F1M

=

F1A

+

F1B

+

F1O

，得

x+2=x1+x2+6 y=y1+y2

，即

x1+x2=x-4 y1+y2=y

，
于是AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(

x-4

2

，

y

2

)，
當(dāng)AB不與x軸垂直時(shí)，

y1-y2

x1-x2

=

y 2

x-4 2 -2

=

y

x-8

，即y1-y2=

y

x-8

(x1-x2)，
又因?yàn)锳，B兩點(diǎn)在雙曲線上，所以x₁²-y₁²=2，x₂²-y₂²=2，
兩式相減得（x₁-x₂）（x₁+x₂）=（y₁-y₂）（y₁+y₂），即（x₁-x₂）（x-4）=（y₁-y₂）y，
將y1-y2=

y

x-8

(x1-x2)代入上式，化簡(jiǎn)得（x-6）²-y²=4，
當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，x₁=x₂=2，求得M（8，0），也滿足上述方程，
所以點(diǎn)M的軌跡方程是（x-6）²-y²=4．

（Ⅱ）假設(shè)在x軸上存在定點(diǎn)C（m，0），使

CA

•

CB

為常數(shù)，
當(dāng)AB不與x軸垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程是y=k（x-2）（k≠±1），
代入x²-y²=2有（1-k²）x²+4k²x-（4k²+2）=0
則x₁，x₂是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以x1+x2=

4k2

k2-1

，x1x2=

4k2+2

k2-1

，
于是

CA

•

CB

=(x1-m)(x2-m)+k2(x1-2)(x2-2)
=（k²+1）x₁x₂-（2k²+m）（x₁+x₂）+4k²+m²
=

(k2+1)(4k2+2)

k2-1

-

4k2(2k2+m)

k2-1

+4k2+m2
=

2(1-2m)k2+2

k2-1

+m2
=2(1-2m)+

4-4m

k2-1

+m2．
因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

CA

•

CB

是與k無(wú)關(guān)的常數(shù)，所以4-4m=0，即m=1，此時(shí)

CA

•

CB

=-1，
當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)可分別設(shè)為(2，

2

)，(2，-

2

)，
此時(shí)

CA

•

CB

=(1，

2

)•(1，-

2

)=-1，
故在x軸上存在定點(diǎn)C（1，0），使

CA

•

CB

為常數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與雙曲線的綜合問(wèn)題．直線與圓錐曲線的綜合題是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，每年必考，要強(qiáng)化復(fù)習(xí)．