Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S

2 n

-2S_n-a_n•S_n+1=0，n∈N^*
（Ⅰ）求S_n與S_n-1（n≥2）的關(guān)系式，并證明數(shù)列{

1

Sn-1

}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)b_n=a_n•S_n，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：

n

2(n+2)

＜T_n＜

2

3

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）根據(jù)a_n與S_n關(guān)系將條件進(jìn)行化簡，利用等差數(shù)列的定義即可證明數(shù)列{

1

Sn-1

}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）求出{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，利用放縮法即可證明不等式．

解答： 當(dāng)n=1時(shí)，由S

2 n

-2S_n-a_n•S_n+1=0得a12-2a1-a12+1=0，解得a1=

1

2

，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1代入S

2 n

-2S_n-a_n•S_n+1=0，得S_nS_n-1-2S_n+1=0，
∴S_n=

1

2-Sn-1

，即

1

Sn-1

-

1

Sn-1-1

=-1，
即數(shù)列{

1

Sn-1

}是首項(xiàng)為

1

S1-1

=-2，公差d=-1的等差數(shù)列；
則

1

Sn-1

=-2+（n-1）•（-1）=-n-1，
即S_n=

n

n+1

，n∈N^•．
（2）n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=

1

n(n+1)

，當(dāng)n=1時(shí)，也成立．
故a_n=

1

n(n+1)

，
∴b_n=a_n•S_n=

1

(n+1)2

，
則T_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

22

+

1

23

+…+

1

(n+1)2

，
∵n²＜n（n+1），∴

1

n2

＞

1

n(n+1)

，
即

1

22

+

1

23

+…+

1

(n+1)2

＞

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

+

1

(n+1)(n+2)

=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

2

-

1

n+2

=

n

2n+4

=

n

2(n+2)

∵bn=

1

(n+1)2

＜

1

(n+1)2- 1 4

=

1

(n+ 1 2 )(n+ 3 2 )

=

1

n+ 1 2

-

1

n+ 3 2

，
∴

1

22

+

1

23

+…+

1

(n+1)2

＜

1

1+ 1 2

-

1

1+ 3 2

+…+

1

n+ 1 2

-

1

n+ 3 2

=

2

3

-

2

2n+3

＜

2

3

，
即

n

2(n+2)

＜T_n＜

2

3

成立．

點(diǎn)評：本題主要考查等差數(shù)列的定義和應(yīng)用，利用條件求出相應(yīng)的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和公式是解決本題的關(guān)鍵，利用放縮法是證明本題不等式的基本方法，綜合性較強(qiáng)，難度較大．