Question

已知f（x）是定義在R上的不恒為0的函數(shù)，且對于任意的a，b∈R，都滿足f（ab）=af（b）+bf（a）．
（1）求f（0）、f（1）的值；
（2）判斷f（x）的奇偶性，并證明你的結(jié)論；
（3）（文科）若f（2）=2，u_n=f（2ⁿ）（n∈N^*），求證：u_n+1＞u_n（n∈N^*）．
（3）（理科）若f（2）=2，u_n=

f(2-n)

n

(n∈N*)，求數(shù)列u_n的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列與函數(shù)的綜合,抽象函數(shù)及其應用,數(shù)列的應用,數(shù)列的求和

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）令a=b=1，⇒f（1）=0；
（2）令a=b=-1⇒f（0）=0，再令a=-1，可知f（-b）=-f（b）⇒f（x）為奇函數(shù)；
（3）利用遞推關(guān)系可得u_n+1=2uⁿ+2ⁿ⁺¹，從而可知

un+1

2n+1

-

un

2n

=1，u₁=f（2）=2，從而可求得u_n=n•2ⁿ，于是易證u_n+1＞u_n（n∈N^*）．
（4）令tn=f(2-n)=f[(

1

2

)n]，利用遞推關(guān)系可求得t_n=-

n

2n

，繼而可知u_n=-

1

2n

，利用等比數(shù)列的求和公式即可求得答案．

解答： 解：（1）令a=b=1，則f（1）=f（1）+f（1）⇒f（1）=0；
令a=0，b=-1，則f（0）=0•f（-1）-1•f（0）⇒2f（0）=0⇒f（0）=0；
（2）令a=b=-1，則f（1）=-f（-1）-f（-1）=0⇒f（-1）=0，
令a=-1，則f（-b）=-f（b）+bf（-1）=-f（b）⇒f（x）為奇函數(shù)；
（3）（文科）un+1=f(2n+1)=f(2•2n)=2f(2n)+2nf(2)=2un+2n+1
⇒

un+1

2n+1

-

un

2n

=1，且u1=f(2)=2⇒

un

2n

=

2

2

+(n-1)•1⇒un=n•2n
⇒

un+1

un

=

(n+1)•2n+1

n•2n

=

(n+1)2

n

＞1⇒un+1＞un；
（4）（理科）令tn=f(2-n)=f[(

1

2

)n]，
則tn+1=f[

1

2

(

1

2

)n]=

1

2

f[(

1

2

)n]+(

1

2

)nf(

1

2

)=

1

2

tn-(

1

2

)n+1
⇒2n+1tn+1-2ntn=-1⇒2ntn=2(-

1

2

)+(n-1)(-1)=-n
⇒tn=-

n

2n

⇒un=-

1

2n

⇒Sn=

- 1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=-1+

1

2n

．

點評：本題考查抽象函數(shù)及其應用，著重考查數(shù)列的求和與數(shù)列與函數(shù)的綜合應用，考查等價轉(zhuǎn)化思想與綜合運算能力，屬于難題．