Question

5．已知點(diǎn)M的坐標(biāo)是（1，1），F(xiàn)₁是橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}$=1的左焦點(diǎn)，P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則|PF₁|+|PM|的取值范圍是[6-$\sqrt{2}$，6+$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 |PF₁|+|PF₂|=2a=6，|PF₁|=6-|PF₂|，所以，|PF₁|+|PM=6-|PF₂|+|PM|=6+（|PM|-|PF₂|），由此結(jié)合圖象能求出|PF₁|+|PM|的最小值和最大值，即可得到所求范圍．

解答 解：∵|PF₁|+|PF₂|=2a=6
那么|PF₁|=6-|PF₂|，
則|PF₁|+|PM|=6-|PF₂|+|PM|
=6+（|PM|-|PF₂|）
根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知，當(dāng)點(diǎn)P位于P₁時(shí)，
|PM|-|PF₂|的差最小，
此時(shí)F₂與M點(diǎn)連線交橢圓于P₁，
易得-|MF₂|=-$\sqrt{2}$，此時(shí)，
|PF₁|+|PM|也得到最小值，其值為6-$\sqrt{2}$．
當(dāng)點(diǎn)P位于P₂時(shí)，
|PM|-|PF₂|的差最大，
此時(shí)F₂與M點(diǎn)連線交橢圓于P₂，
易得|MF₂|=$\sqrt{2}$，此時(shí)|PF₁|+|PM|也得到最大值，其值為6+$\sqrt{2}$．
則所求范圍是[6-$\sqrt{2}$，6+$\sqrt{2}$]．
故答案為：[6-$\sqrt{2}$，6+$\sqrt{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的定義、性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合法的合理運(yùn)用．