Question

12．若曲線y=2x-alnx（a＜2）的-條切線l與直線y=x-5平行，且兩直線距離為3$\sqrt{2}$，則a=1．

Answer 1

分析 設切點為（m，n），求出函數(shù)的導數(shù)，求得切線的斜率，由兩直線平行的條件可得斜率相等，再設切線l：y=x+t，運用平行線的距離公式可得t，解方程即可得到所求a的值．

解答 解：設切點為（m，n），y=2x-alnx的導數(shù)為y′=2-$\frac{a}{x}$，
由切線l與直線y=x-5平行，
可得切線的斜率為2-$\frac{a}{m}$=1，
可設切線l：y=x+t，由兩直線距離為3$\sqrt{2}$，
可得3$\sqrt{2}$=$\frac{|t+5|}{\sqrt{2}}$，解得t=1或-11．
若切線為y=x+1，可得n=m+1，
又n=2m-alnm，解方程可得a=1；
若切線為y=x-11，可得n=m-11，
又n=2m-alnm，可得m-mlnm=-11，
設f（m）=m-mlnm+11，由f（9）=9-9ln9+11＞0，
f（10）=10-10ln10+11＜0，
即有m-mlnm=-11的解介于9到10之間．
故答案為：1．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率，考查兩直線平行的條件：斜率相等，以及運算求解的能力，屬于中檔題．