Question

已知函數(shù)f（x）=sin²x+

3

sinx•cosx+2cos²x（x∈R）．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且f（A）=2．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間及對稱中心；
（Ⅱ）若a=

3

，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

考點：正弦定理,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式和兩角和公式整理，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)，求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和對稱中心．
（Ⅱ）利用f（A）=2求得A的值，進而利用余弦定理建立公式求得bc的范圍，最后通過三角形面積公式求得答案．

解答： 解：（I）f（x）=

1-cos2x

2

+

3

2

sin2x+1+cos2x=sin（2x+

π

6

）+

3

2

，
當(dāng)2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，即kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

時，k∈Z，函數(shù)單調(diào)增，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z），
由2x+

π

6

=kπ，解得函數(shù)的對稱中心：（

kπ

2

-

π

12

，

3

2

）（k∈Z）
（II）由f（A）=2，
∴sin（2A+

π

6

）+

3

2

=2，
∴sin（2A+

π

6

）=

1

2

，
∴2A+

π

6

=

5π

6

，
∴A=

π

3

，又a=

3

，由余弦定理：
a²=b²+c²-2bccosA，
∴a²=b²+c²-2bccosA，
∴b²+c²-2bc=3，
∵b²+c²≥2bc，
∴bc≤3，
∴S=

1

2

bcsinA=

3

4

bc≤

3 3

4

，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時取等．

點評：本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用，三角函數(shù)基本性質(zhì)，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用．注重了基礎(chǔ)知識綜合運用．