Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=

1

2

，

3(1-an+1)

1-an

=

2(1+an)

1+an+1

（n∈N^*），數(shù)列b_n=1-a_n²（n∈N^*），數(shù)列c_n=a_n+1²-a_n²，（n∈N^*）．
（1）證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{c_n}的通項公式．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義，即可證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）求出求數(shù)列{c_n}的通項公式．

解答： 解：（1）證明：由已知a_n≠±1，b_n≠0，
b₁=

3

4

，由a₁=

1

2

，

3(1-an+1)

1-an

=

2(1+an)

1+an+1

（n∈N^*），
得3（1-

a

2 n+1

）=2（1-a_n²），
即

bn+1

bn

=

1- a 2 n+1

1- a 2 n

=

2

3

，
則數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，公比q=

2

3

，首項b₁=

3

4

．
（2）∵數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，公比q=

2

3

，首項b₁=

3

4

，
∴數(shù)列b_n=

3

4

(

2

3

)n-1，
a_n²=1-b_n=1-

3

4

•(

2

3

)n-1，
c_n=a_n+1²-a_n²=1-

3

4

•(

2

3

)n-（1-

3

4

•(

2

3

)n-1）=

1

4

(

2

3

)n-1．

點評：本題主要考查遞推數(shù)列的應(yīng)用，以及等比數(shù)列的判斷，考查學(xué)生的計算能力．