Question

某化工企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品，生產(chǎn)每件產(chǎn)品的成本為3元，根據(jù)市場調(diào)查，預計每件產(chǎn)品的出廠價為x元（7≤x≤10）時，一年的產(chǎn)量為（11-x）²萬件；若該企業(yè)所生產(chǎn)的產(chǎn)品能全部銷售，則稱該企業(yè)正常生產(chǎn)；但為了保護環(huán)境，用于污染治理的費用與產(chǎn)量成正比，比例系數(shù)為常數(shù)a（1≤a≤3）．
（Ⅰ）求該企業(yè)正常生產(chǎn)一年的利潤L（x）與出廠價x的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）當每件產(chǎn)品的出廠價定為多少元時，企業(yè)一年的利潤最大，并求最大利潤．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用

專題：應用題,導數(shù)的概念及應用

分析：（Ⅰ）年利潤=單件利潤×年產(chǎn)量-治理污染費用；
（Ⅱ）求導L′（x）=（11-x ）（17+2a-3x），由L′（x）=0，得x=11∉[7，10]或x．分①當

19

3

≤

17+2a

3

≤7，②當7＜

17+2a

3

≤

23

3

兩種情況討論可得最大值；

解答： 解：（Ⅰ）依題意，L（x）=（x-3）（11-x）²-a（11-x）²
=（x-3-a）（11-x）²，x∈[7，10]．
（Ⅱ）∵L′（x）=（11-x）²-2（x-3-a）（11-x）=（11-x）（11-x-2x+6+2a）
=（11-x ）（17+2a-3x）．
由L′（x）=0，得x=11∉[7，10]或x=

17+2a

3

．
∵1≤a≤3，∴

19

3

≤

17+2a

3

≤

23

3

．
在x=

17+2a

3

的兩側(cè)L′（x）由正變負，
故①當

19

3

≤

17+2a

3

≤7，即1≤a≤2時，L′（x）在[7，10]上恒為負，
∴L（x）在[7，10]上為減函數(shù)．
∴[L（x）]_max=L（7）=16（4-a）．
②當7＜

17+2a

3

≤

23

3

，即2＜a≤3時，[L（x）]_max=L（

17+2a

3

）=

4

27

（8-a）³，
故1≤a≤2時，則當每件產(chǎn)品出廠價為7元時，年利潤最大，為16（4-a）萬元．當2＜a≤3時，則每件產(chǎn)品出廠價為

17+2a

3

元時，年利潤最大，為

4

27

（8-a）³萬元．

點評：本題以實際問題為背景，構(gòu)建函數(shù)模型并用其解決問題，考查應用導數(shù)求函數(shù)最值，體現(xiàn)數(shù)學的應用價值．