Question

已知函數(shù)f（x）=sin²x+

3

sinxsin（x+

π

2

）．
（Ⅰ）求f（

π

12

）的值；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）直接借助于二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式為：f（x）=sin(2x-

π

6

)+

1

2

，然后，直接求解f（

π

12

）的值；
（Ⅱ）根據(jù)x∈[0，

π

2

]，然后，借助于三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行求解最值即可．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=sin2x+

3

sinxsin(x+

π

2

)
=sin2x+

3

sinxcosx
=

1-cos2x

2

+

3

2

sin2x
=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x+

1

2

=sin(2x-

π

6

)+

1

2

．
∴f（x）=sin(2x-

π

6

)+

1

2

．
∴f(

π

12

)=

1

2

．                                 
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，
-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

．
∴當(dāng)2x-

π

6

=-

π

6

時(shí)，即x=0時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值0；
當(dāng)2x-

π

6

=

π

2

時(shí)，即x=

π

3

時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了二倍角公式、輔助角公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題，也是常規(guī)題目．