Question

函數y=sinx-cosx+sinxcosx，x∈[0，π]的最大值是

 

，最小值是

 

．

Answer 1

考點：三角函數的最值

專題：三角函數的求值

分析：設sinx-cosx=t，得sinxcosx的函數關系式，依題意結合x的范圍，求出t的范圍，利用二次函數閉區(qū)間上的最值求解即可．

解答： 解：設sinx-cosx=t，則（sinx-cosx）²=t²⇒sinxcosx=

1-t2

2

，
∵x∈[0，π]，
∴（x-

π

4

）∈[-

π

4

，

3π

4

]，sin（x-

π

4

）∈[-

2

2

，1]，
∴t=sinx-cosx=

2

sin（x-

π

4

）∈[-1，

2

]，
∴y=-

1

2

t²+t+

1

2

=-

1

2

（t-1）²+1，
∴當t=1時，y_max=1；
當t=-1時，y_min=-1．
∴函數y=sinx-cosx+sinxcosx，x∈[0，π]的值域是[-1，1]．
函數的最大值為1，最小值為-1．
故答案為：1；-1．

點評：本題考查三角函數的最值，換元是關鍵，考查等價轉化思想與運算求解能力，屬于中檔題．