Question

已知實(shí)數(shù)x，y滿足不等式：

x-y+2≥0 1≤x≤2 y≥2

．
（1）求

y

x

的取值范圍；
（2）求z=2x-y的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)z=

y

x

，則z的幾何意義是過(guò)原點(diǎn)直線的斜率，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論；
（2）利用z的幾何意義，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）在直角坐標(biāo)系中作出（x，y）的可行域：
設(shè)z=

y

x

，則z的幾何意義是可行域內(nèi)P（x，y）與（0，0）連線的斜率，
由

x=2 y=2

得B（2，2），
由

x=1 x-y+2=0

得

x=1 y=3

，即D（1，3）．
結(jié)合圖形得：當(dāng)P位于點(diǎn)B（2，2）時(shí)，OB的斜率最小為

2

2

=1，
當(dāng)P位于點(diǎn)D（1，3）時(shí)，OD的斜率最大為

3

1

=3，
即1≤z≤3，
∴求

y

x

的取值范圍是[1，3]．
（2）由z=2x-y得y=2x-z，
平移直線y=2x-z，由圖象可知當(dāng)直線y=2x-z經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（2，2）時(shí)，直線y=2x-z的截距最小，
此時(shí)z最大，
∴z的最大值為z=2×2-2=2，
故z=2x-y的最大值是2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．