Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為1，P為線段BC的中點(diǎn)，Q為線段CC₁上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)A，P，Q的平面截該正方體所得的截面記為S，則所有正確的命題是

 

．
①當(dāng)0＜CQ＜

1

2

時(shí)，S為四邊形；
②當(dāng)CQ=

1

2

時(shí)，S為等腰梯形；
③當(dāng)CQ=

3

4

時(shí)，S與C₁D₁的交點(diǎn)R滿(mǎn)足RD₁=

1

3

；
④當(dāng)

3

4

＜CQ＜1時(shí)，S為五邊形；
⑤當(dāng)CQ=1時(shí)，S的面積為

3

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離,簡(jiǎn)易邏輯

分析：由題意作出滿(mǎn)足條件的圖形，由線面位置關(guān)系找出截面可判斷選項(xiàng)的正誤．

解答： 解：如圖，

上圖當(dāng)點(diǎn)Q向C移動(dòng)時(shí)，滿(mǎn)足0＜CQ＜

1

2

，只需在DD₁上取點(diǎn)M，滿(mǎn)足AM∥PQ，
即可得截面為四邊形APQM，故①正確；
當(dāng)CQ=

1

2

時(shí)，即Q為CC₁的中點(diǎn)，此時(shí)可得PQ∥AD₁，AP=QD1=

12+( 1 2 )2

=

5

2

．
故S為等腰梯形，②正確；
當(dāng)CQ=

3

4

時(shí)，如下圖，延長(zhǎng)DD₁至N，使D1N=

1

2

，連結(jié)AN交A₁D₁于S，
連結(jié)QN交C₁D₁于R，連結(jié)SR，則AN∥PQ，
由△NRD₁∽△QRC₁，可得C₁R：D₁R=C₁Q：D₁N=1：2．
∴C1R=

1

3

，RD1=

2

3

．
故③不正確；

由③可知，當(dāng)

3

4

＜CQ＜1時(shí)，只需點(diǎn)Q上移即可，此時(shí)的截面形狀仍是上圖所示的APQRS，為五邊形，
故④正確；
當(dāng)CQ=1時(shí)，Q與C₁重合，取A₁D₁的中點(diǎn)F，連結(jié)AF，則PC₁∥AF，且PC₁=AF，可知截面APC₁F為菱形，
∴其面積為

1

2

AC1•PF=

1

2

•

3

•

2

=

6

2

．
∴⑤錯(cuò)誤．
∴所有正確的命題是①②④．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了學(xué)生的空間想象和思維能力，借助于特殊點(diǎn)分析問(wèn)題是解決該題的關(guān)鍵，是中檔題．