Question

設(shè)ξ為隨機(jī)變量，從棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的八個(gè)頂點(diǎn)中任取四個(gè)點(diǎn)，當(dāng)四點(diǎn)共面時(shí)，ξ=0，當(dāng)四點(diǎn)不共面時(shí)，ξ的值為四點(diǎn)組成的四面體的體積．
（1）求概率P（ξ=0）；
（2）求ξ的分布列，并求其數(shù)學(xué)期望E（ξ）．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,等可能事件的概率

專題：綜合題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）求出從正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中任取四個(gè)點(diǎn)，共有

C

4 8

=70種情況，當(dāng)四點(diǎn)共面時(shí)，共有12種情況，即可由概率公式求得概率．
（2）四點(diǎn)不共面時(shí)，四面體的體積有以下兩種情況：①四點(diǎn)在相對(duì)面且異面的對(duì)角線上；②四點(diǎn)中有三個(gè)點(diǎn)在一個(gè)側(cè)面上，另一個(gè)點(diǎn)在相對(duì)側(cè)面上，求出相應(yīng)的概率，從而求出隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）從棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的八個(gè)頂點(diǎn)中任取四個(gè)點(diǎn)，共有

C

4 8

=70種情況，當(dāng)四點(diǎn)共面時(shí)，共有12種情況，
∴P（ξ=0）=

12

70

=

6

35

．
（2）四點(diǎn)不共面時(shí)，四面體的體積有以下兩種情況：
①四點(diǎn)在相對(duì)面且異面的對(duì)角線上，體積為1-4×

1

6

=

1

3

，這樣的取法共有2種；
②四點(diǎn)中有三個(gè)點(diǎn)在一個(gè)側(cè)面上，另一個(gè)點(diǎn)在相對(duì)側(cè)面上，體積為

1

6

，這樣的取法共有70-12-2=56種．
∴ξ的分布列為

ξ	0	1 3	1 6
P	6 35	1 35	28 35

數(shù)學(xué)期望E（ξ）=

1

3

×

1

35

+

1

6

×

28

35

=

1

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的計(jì)算，考查離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，求概率是關(guān)鍵．