Question

正四面體ABCD邊長為2．E，F(xiàn)分別為AC，BD中點．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面EFD；
（Ⅱ）求二面角E-FD-C的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）連結AF，EF，由已知條件推導出EF⊥AC，DE⊥AC，由此能夠證明AC⊥平面EFD．
（Ⅱ）設底面中心為O，以OC，OD，OA分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系．利用向量法能求出二面角E-FD-C的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：連結AF，EF，
∵ABCD是正四面體，E，F(xiàn)分別為AC，BD中點
∴AF=CF，AD=CD，
∴EF⊥AC，DE⊥AC，
∵EF∩DE=E，∴AC⊥平面EFD．
（Ⅱ）解：設底面中心為O，以OC，OD，OA分別為x，y，z軸，
建立空間直角坐標系．
∵正四面體ABCD邊長為2，
∴OF=

1

3

CF=

3

3

，OA=

( 3 )2-( 3 3 )2

=

2 6

3

，
C（

2 3

3

，0，0），A（0，0，

2 6

3

），
由題意平面DFC的法向量為

OA

=(0，0，

2 6

3

)．
平面EFD的法向量為

CA

=(

2 3

3

，0，-

2 6

3

)，
∴二面角E-FD-C的余弦值：
cosθ=|cos＜

OA

，

CA

＞|=|

2 6 3 •(- 2 6 3 )

2 6 3 • ( 2 3 3 )2+(- 2 6 3 )2

|=

6

3

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．