Question

正四面體ABCD邊長(zhǎng)為2．E，F(xiàn)分別為AC，BD中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面EFD；
（Ⅱ）求二面角E-FD-C的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線(xiàn)與平面垂直的判定

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）連結(jié)AF，EF，由已知條件推導(dǎo)出EF⊥AC，DE⊥AC，由此能夠證明AC⊥平面EFD．
（Ⅱ）設(shè)底面中心為O，以O(shè)C，OD，OA分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．利用向量法能求出二面角E-FD-C的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：連結(jié)AF，EF，
∵ABCD是正四面體，E，F(xiàn)分別為AC，BD中點(diǎn)
∴AF=CF，AD=CD，
∴EF⊥AC，DE⊥AC，
∵EF∩DE=E，∴AC⊥平面EFD．
（Ⅱ）解：設(shè)底面中心為O，以O(shè)C，OD，OA分別為x，y，z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系．
∵正四面體ABCD邊長(zhǎng)為2，
∴OF=

1

3

CF=

3

3

，OA=

( 3 )2-( 3 3 )2

=

2 6

3

，
C（

2 3

3

，0，0），A（0，0，

2 6

3

），
由題意平面DFC的法向量為

OA

=(0，0，

2 6

3

)．
平面EFD的法向量為

CA

=(

2 3

3

，0，-

2 6

3

)，
∴二面角E-FD-C的余弦值：
cosθ=|cos＜

OA

，

CA

＞|=|

2 6 3 •(- 2 6 3 )

2 6 3 • ( 2 3 3 )2+(- 2 6 3 )2

|=

6

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．