【題目】如圖，橢圓：的離心率是，過點的動直線與橢圓相交于，兩點，當直線平行軸時，直線被橢圓截得的線段長為4.

（1）求橢圓的方程；

（2）設為坐標原點，是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）（2）存在；

【解析】

（1）由橢圓的離心率為，過點的動直線與橢圓相交于，兩點，列出方程組求出，由此能求出橢圓的方程；

（2）當直線的斜率存在時，設直線為，與橢圓聯(lián)立得，

，由此利用根的判別式，韋達定理，向量的數(shù)量積，結(jié)合已知條件推出為定值，當直線的斜率不存在時，

,從而得到答案.

（1）解：由題設知，，，

設橢圓方程為，令，得，∴，

解得，所以橢圓的方程為.

（2）當直線的斜率存在時，設直線的方程為，，的坐標分別為，，聯(lián)立得，

其判別式，所以，.

從而

，

所以，當，即時，.

此時，為定值.

當直線斜率不存在時，此時，，

∴.

故存在常數(shù)，使得為定值.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】統(tǒng)計學中，經(jīng)常用環(huán)比、同比來進行數(shù)據(jù)比較，環(huán)比是指本期統(tǒng)計數(shù)據(jù)與上期比較，如年月與年月相比，同比是指本期數(shù)據(jù)與歷史同時期比較，如年月與年月相比.

環(huán)比增長率（本期數(shù)上期數(shù)）上期數(shù)，

同比增長率（本期數(shù)同期數(shù)）同期數(shù).

下表是某地區(qū)近個月來的消費者信心指數(shù)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)：

序號

時間

年月

年月

年月

年月

年月

年月

年月

年月

消費者信心指數(shù)

2017年

月

年

月

年

月

年

月

年

月

年

月

年

月

年

月

年

月

求該地區(qū)年月消費者信心指數(shù)的同比增長率（百分比形式下保留整數(shù)）；

除年月以外，該地區(qū)消費者信心指數(shù)月環(huán)比增長率為負數(shù)的有幾個月？

由以上數(shù)據(jù)可判斷，序號與該地區(qū)消費者信心指數(shù)具有線性相關關系，寫出關于的線性回歸方程（，保留位小數(shù)），并依此預測該地區(qū)年月的消費者信心指數(shù)（結(jié)果保留位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)與公式：，，，，）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物，一般情況下PM2.5的濃度越大，大氣環(huán)境質(zhì)量越差.右邊的莖葉圖表示的是成都市區(qū)甲乙兩個監(jiān)測站某10日內(nèi)每天的PM2.5濃度讀數(shù)(單位：)，則下列說法正確的是( )

A.這10日內(nèi)甲、乙監(jiān)測站讀數(shù)的極差相等

B.這10日內(nèi)甲、乙監(jiān)測站讀數(shù)的中位數(shù)中，乙的較大

C.這10日內(nèi)乙監(jiān)測站讀數(shù)的眾數(shù)與中位數(shù)相等

D.這10日內(nèi)甲、乙監(jiān)測站讀數(shù)的平均數(shù)相等

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖兩個同心球，球心均為點，其中大球與小球的表面積之比為3:1，線段與是夾在兩個球體之間的內(nèi)弦，其中兩點在小球上，兩點在大球上，兩內(nèi)弦均不穿過小球內(nèi)部.當四面體的體積達到最大值時，此時異面直線與的夾角為，則（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某種設備隨著使用年限的增加，每年的維護費相應增加.現(xiàn)對一批該設備進行調(diào)查，得到這批設備自購入使用之日起，前5年平均每臺設備每年的維護費用大致如表：

年份（年）

維護費（萬元）

已知.

（I）求表格中的值；

（II）從這年中隨機抽取兩年，求平均每臺設備每年的維護費用至少有年多于萬元的概率；

（Ⅲ）求關于的線性回歸方程；并據(jù)此預測第幾年開始平均每臺設備每年的維護費用超過萬元.

參考公式：用最小二乘法求線性回歸方程的系數(shù)公式：

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為推行“新課堂”教學法，某化學老師分別用傳統(tǒng)教學和“新課堂”兩種不同的教學方式，在甲、乙兩個平行班級進行教學實驗.為了比較教學效果，期中考試后，分別從兩個班級中各隨機抽取20名學生的成績進行統(tǒng)計，結(jié)果如下表：記成績不低于70分者為“成績優(yōu)良”.

分數(shù)

甲班頻數(shù)

5

6

4

4

1

乙班頻數(shù)

1

3

6

5

5

（1）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯概率不超過0.025的前提下認為“成績優(yōu)良與教學方式有關”？

甲班

乙班

總計

成績優(yōu)良

成績不優(yōu)良

總計

附：，其中.

臨界值表

0.10

0.05

0.025

2.706

3.841

5.024

（2）現(xiàn)從上述40人中，學校按成績是否優(yōu)良采用分層抽樣的方法抽取8人進行考核.在這8人中，記成績不優(yōu)良的乙班人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，是半圓的直徑，，為圓周上一點，平面，，，，.

（1）求證：平面平面；

（2）在線段上是否存在點，且使得平面？若存在，求出點的位置；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知雙曲線：的右焦點到漸近線的距離為4，且在雙曲線上到的距離為2的點有且僅有1個，則這個點到雙曲線的左焦點的距離為______.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如果函數(shù)在定義域的某個區(qū)間上的值域恰為，則稱函數(shù)為上的等域函數(shù)，稱為函數(shù)的一個等域區(qū)間．

（1）若函數(shù)，，則函數(shù)存在等域區(qū)間嗎？若存在，試寫出其一個等域區(qū)間，若不存在，說明理由

（2）已知函數(shù)，其中且，，．

（�。┊�時，若函數(shù)是上的等域函數(shù)，求的解析式；

（ⅱ）證明：當，時，函數(shù)不存在等域區(qū)間．

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