【題目】如果函數(shù)在定義域的某個(gè)區(qū)間上的值域恰為,則稱函數(shù)為上的等域函數(shù),稱為函數(shù)的一個(gè)等域區(qū)間.
(1)若函數(shù),,則函數(shù)存在等域區(qū)間嗎?若存在,試寫出其一個(gè)等域區(qū)間,若不存在,說明理由
(2)已知函數(shù),其中且,,.
(。┊(dāng)時(shí),若函數(shù)是上的等域函數(shù),求的解析式;
(ⅱ)證明:當(dāng),時(shí),函數(shù)不存在等域區(qū)間.
【答案】(1);見解析(2)(。(ⅱ)見解析
【解析】
(1)由題意,分析等域區(qū)間定義,寫出函數(shù)的等域區(qū)間;
(2)(。┊(dāng)時(shí),分析函數(shù)單調(diào)性,分類討論等域區(qū)間,即可求解;
(ⅱ)由題意,根據(jù),,判斷函數(shù)為減函數(shù),再由反證法,假設(shè)函數(shù)存在等域區(qū)間,推導(dǎo)出矛盾,即可證明不存在等域區(qū)間.
解:(1)函數(shù)存在等域區(qū)間,如;
(2)已知函數(shù),其中且,,D
(ⅰ)當(dāng)時(shí),
若函數(shù)是上的等域函數(shù),
當(dāng)時(shí),為增函數(shù),
則得,此時(shí).
當(dāng)時(shí),為減函數(shù),
則,得,不滿足條件.
即.
(ⅱ)證明:當(dāng),時(shí),,即,
則為減函數(shù),
假設(shè)函數(shù)存在等域區(qū)間,
則,
兩式作差,
即,
,,,,,
則,
等式不成立,即函數(shù)不存在等域區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,橢圓:的離心率是,過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于,兩點(diǎn),當(dāng)直線平行軸時(shí),直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為4.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),是否存在常數(shù),使得為定值?若存在,求的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】科研人員在對(duì)某物質(zhì)的繁殖情況進(jìn)行調(diào)查時(shí)發(fā)現(xiàn),1月、2月、3月該物質(zhì)的數(shù)量分別為3、5、9個(gè)單位.為了預(yù)測(cè)以后各月該物質(zhì)的數(shù)量,甲選擇了模型,乙選擇了模型,其中y為該物質(zhì)的數(shù)量,x為月份數(shù),a,b,c,p,q,r為常數(shù).
(1)若5月份檢測(cè)到該物質(zhì)有32個(gè)單位,你認(rèn)為哪個(gè)模型較好,請(qǐng)說明理由.
(2)對(duì)于乙選擇的模型,試分別計(jì)算4月、7月和10月該物質(zhì)的當(dāng)月增長(zhǎng)量,從計(jì)算結(jié)果中你對(duì)增長(zhǎng)速度的體會(huì)是什么?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓: 的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn),直線: 與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓的方程及點(diǎn)的坐標(biāo);
(Ⅱ)設(shè)是坐標(biāo)原點(diǎn),直線平行于,與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、,且與直線交于點(diǎn),證明:存在常數(shù),使得,并求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知(,且).
(1)當(dāng)(其中,且t為常數(shù))時(shí),是否存在最小值,如果存在,求出最小值;如果不存在,請(qǐng)說明理由;
(2)當(dāng)時(shí),求滿足不等式的實(shí)數(shù)x的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】依據(jù)黃河濟(jì)南段8月份的水文觀測(cè)點(diǎn)的歷史統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)所繪制的頻率分布直方圖如圖(甲)所示:依據(jù)濟(jì)南的地質(zhì)構(gòu)造,得到水位與災(zāi)害等級(jí)的頻率分布條形圖如圖(乙)所示.
(I)以此頻率作為概率,試估計(jì)黃河濟(jì)南段在8月份發(fā)生I級(jí)災(zāi)害的概率;
(Ⅱ)黃河濟(jì)南段某企業(yè),在3月份,若沒受1、2級(jí)災(zāi)害影響,利潤(rùn)為500萬元;若受1級(jí)災(zāi)害影響,則虧損100萬元;若受2級(jí)災(zāi)害影響則虧損1000萬元.
現(xiàn)此企業(yè)有如下三種應(yīng)對(duì)方案:
試問,如僅從利潤(rùn)考慮,該企業(yè)應(yīng)選擇這三種方案中的哪種方案?說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)(為常數(shù),是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),若曲線在點(diǎn)處切線的斜率為.
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)的值;
(Ⅱ)令,試討論函數(shù)的單調(diào)性.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2002年國際數(shù)學(xué)家大會(huì)在北京召開,會(huì)標(biāo)是以我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計(jì).弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形(如圖)如果小正方形的邊長(zhǎng)為1,大正方形的邊長(zhǎng)為5,直角三角形中較小的銳角為,則 ( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)解關(guān)于x的不等式;
(2)對(duì)任意的(﹣1,2),恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
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