Question

若把函數(shù)f（x）=ln（2x+4）圖象向右平移2個單位得新函數(shù)y=g（x），再把y=g（x）的圖象繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)角α后恰與y軸相切，則tanα=

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的圖象與圖象變化

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：本題可先將函數(shù)圖象進行平移，再求出其過原點的切線方程，然后根據(jù)題意，對所得曲線進行整體（含切線）的旋轉(zhuǎn)后，切線與y軸重合時（所得曲線與y軸相切），求出旋轉(zhuǎn)前的切線與y軸所成角的正切，即得到本題的解．

解答： 解：將函數(shù)f（x）=ln（2x+4）圖象向右平移2個單位得新函數(shù)y=ln[2（x-2）+4]=ln2x，
∴g（x）=ln2x．
g′(x)=

1

x

．
過原點作曲線y=g（x）的切線，設(shè)切點為P（x₀，y₀），
則有：y₀=ln2x₀，斜率k=

1

x0

，
∴切線方程為：y-ln2x0=

1

x0

(x-x0)，
切線過原點時，x=0，y=0，
∴l(xiāng)n2x₀=1，x0=

e

2

．
由題意知，y=g（x）的切線與y軸的夾角為α，
則tan(

π

2

-α)=

1

x0

=

2

e

，tanα=

e

2

．
故答案為：

e

2

．

點評：本題考查了函數(shù)圖象的平移、旋轉(zhuǎn)和切線方程等知識，利用函數(shù)圖象平移和旋轉(zhuǎn)，實現(xiàn)圖象與y軸的相切，思維上有一定的跨度，屬于中檔題．