Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

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x3-x2+ax-a（a∈R），且x=-1是函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)．
（Ⅰ）求曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；
（Ⅲ）若方程f（x）=k有三個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，利用x=-1是函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，求出a，即可求曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）由a=-3得到f（x）的解析式，求出導(dǎo)函數(shù)等于0時(shí)x的值，討論函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值；
（Ⅲ）若方程f（x）=k有三個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k介于極大值與極小值之間．

解答： 解：（Ⅰ）∵f(x)=

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x3-x2+ax-a，
∴f′（x）=x²-2x+a，
∵x=-1是函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，
∴f′（-1）=1+2+a=0，
∴a=-3，
∴f′（1）=-4，
∵f（1）=-

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，
∴曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y+

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=-4（x-1），即12x+3y-10=0；
（Ⅱ）f′（x）=x²-2x-3=（x-3）（x+1）．
令f′（x）=0，得x₁=-1，x₂=3．
當(dāng)x＜-1時(shí)，f′（x）＞0，則f（x）在（-∞，-1）上單調(diào)遞增；
當(dāng)-1＜x＜3時(shí)，f′（x）＜0，則f（x）在（-1，3）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞3時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（3，+∞）上單調(diào)遞增．
∴當(dāng)x=-1時(shí)，f（x）取得極大值為f(x)極大值=f(-1)=

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；
當(dāng)x=3時(shí)，f（x）取得極小值為f（x）_極小值=f（3）=-6；
（Ⅲ）∵方程f（x）=k有三個(gè)實(shí)數(shù)根，f(x)極大值=f(-1)=

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，f（x）_極小值=f（3）=-6
∴-6＜k＜

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．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力，分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．