Question

已知函數(shù)f(x)=

1-x

ax

+lnx（其中a＞0，e≈2.7）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f（x）在[

1

2

，2]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）求證：對于任意大于1的正整數(shù)n，都有lnn＞

1

2

+

1

3

+…+

1

n

．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，比較端點的函數(shù)值，即可求得結(jié)論；
（Ⅱ）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x），由題意可知：當(dāng)x≥1時，f′（x）≥0恒成立，解出a的取值范圍即可．
（Ⅲ）利用（Ⅰ）的結(jié)論，只要令a=1，x=

n

n-1

即可．

解答： （Ⅰ）解：求導(dǎo)函數(shù)，可得f′(x)=

x-1

x2

∴x∈[

1

2

，1）時，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，x∈（1，2]時，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增
∴f（x）在[

1

2

，2]上有唯一極小值點，且為最小值點，最小值為f（1）=0
∵f(

1

2

)=1-ln2，f（2）=-

1

2

+ln2，
∴f（x）在[

1

2

，2]上的最大值為1-ln2；
（Ⅱ）解：∵函數(shù)f(x)=

1-x

ax

+lnx，
∴f′(x)=

x- 1 a

x2

，
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x≥1時，f′（x）≥0恒成立，即

1

a

≤x（a＞0），x∈[1，+∞）恒成立，
∴

1

a

≤1（a＞0）解得a≥1．即為所求的取值范圍；
（Ⅲ）證明：由（Ⅰ）知lnx≥-

1-x

x

，
令x=

n

n-1

，則ln

n

n-1

≥

1

n

，
∴ln

2

1

+ln

3

2

+…+ln

n

n-1

＞

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，
即lnn＞

1

2

+

1

3

+…+

1

n

．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值及證明不等式，充分理解導(dǎo)數(shù)的意義及掌握恰當(dāng)分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想是解題的關(guān)鍵．